1、第3章土体中的应力计算 学习基本要求 掌握土中自重应力计算 掌握基底压力和基底附加压力分布与计算 掌握矩形和条形均布荷载作用下附加应力的计算 附加应力的分布规律 概述 土中应力计算的目的及方法 土中应力增量将引起土的变形 从而使建筑物发生下沉 倾斜及水平位移等 土中应力过大时 也会导致土的强度破坏 甚至使土体发生滑动而失稳 土中应力状态 土体的变形 强度及稳定性 应力符号规定法向应力以压为正 剪应力方向的符号规定则与材料力学相反 材料力学中规定剪应力以顺时针方向为正 土力学中则规定剪应力以逆时针方向为正 压为正 拉为负 剪应力以逆时针为正 土中的自重应力计算 土中应力按其起因可分为自重应力和附
2、加应力两种 自重应力是土受到重力作用产生的应力 自重应力一般是自土体形成之日起就产生于土中 附加应力是受到建筑物等外部荷载作用产生的应力 一 均质土自重应力计算在深度z处平面上 土体因自身重力产生的竖向应力 称竖向自重应力 等于单位面积上土柱体的重力G 如图所示 在深度z处土的自重应力为 式中 r 为土的重度 KN m3 A 土柱体的截面积 m2 从上式可知 自重应力随深度z线性增加 呈三角形分布图形 二 成层土自重应力计算地基土通常为成层土 当地基为成层土体时 设各土层的厚度为hi 重度为ri 则在深度z处土的自重应力计算公式为 n 从地面到深度z处的土层数 hi 第i层土的厚度 m 成层土
3、的自重应力沿深度呈折线分布 转折点位于r值发生变化的土层界面上 三 有地下水时土中自重应力计算当计算地下水位以下土的自重应力时 应根据土的性质确定是否需要考虑水的浮力作用 通常认为水下的砂性土是应该考虑浮力作用的 粘性土则视其物理状态而定 若水下的粘性土其液性指数IL 1 则土处于流塑 液态 状态 土颗粒之间存在着大量自由水 可认为土体受到水浮力作用 采用土的有效重度计算土的自重应力 若IL 0 则土处于坚硬 固态 状态 土中自由水受到土颗粒间结合水膜的阻碍不能传递静水压力 故认为土体不受水的浮力作用 采用土的饱和重度计算土的自重应力 若0 IL 1 土处于塑性状态 土颗粒是否受到水的浮力作用
4、就较难肯定 在工程实践中一般均按土体受到水浮力作用来考虑 四 存在隔水层时土的自重应力计算当地基中存在隔水层时 隔水层面以下土的自重应力应考虑其上的静水压力作用 式中 ri 第i层土的天然重度 对地下水位以下的土取有效重度ri hw 地下水到隔水层的距离 m 在地下水位以下 如埋藏有隔水层 由于不透水层中不存在水的浮力 所以层面及层面以下的自重应力应按上覆土层的水土总重计 折线图遇地下水时折线往回收 遇隔水层时有一突跃值 计算如图所示水下地基土中的自重应力分布 水面 粗砂r 19KN m3rsat 19 5KN m3 黏土r 19 KN m3rsat 19 KN m3W 20 WL 55 WP
5、 24 b c 76KPa 176KPa 253 2KPa a 8m 4m 结论 1 计算地下水位以下的土的自重应力应采用有效重度 2 IL 0时 分层面处的自重应力有突变 3 自重应力沿深度线性增加 故分层土只要计算分层处各特征点的自重应力 问题 1 地下水位变化对土中自重应力的影响 原地下水位 变动后地下水位 Z 1 2 1 2 0 1 2线为原来自重应力的分布0 1 2 线为变动后自重应力的分布 2 自重应力在均匀土层中呈 分布 A 折线B 曲线C 直线D 不确定 土中水平自重应力计算假定在自重作用下 没有侧向变形和剪切变形 根据弹性力学理论和土体侧限条件 则水平自重应力有 竖向自重应力
6、 水平自重应力 静止土压力系数 式中 m 泊松比 K0 也叫侧压系数 0 33 0 72 通过实验测定 它是土体在无侧向变形条件下有效小主应力与有效大主应力之比 基底压力计算 基底压力 建筑物荷载通过基础传递给地基的压力 也就是作用于基础底面土层单位面积的压力 单位为kPa 与地基反力形成作用力与反作用力 建筑物荷重 基础 地基上 在地基与基础的接触面上产生的压力基底压力分布及其影响因素 基础相对刚度 基础大小 形状和埋深 地基土的性质 作用在基础上的荷载大小 分布和性质 基础刚度的影响1 弹性地基上的完全柔性基础 EI 0 土坝 堤 路基 油罐等薄板基础 机场跑道 可认为土坝底部的接触压力分
7、布与土坝的外形轮廓相同 其大小等于各点以上的土柱重量 柔性基础 基底压力的分布形式与作用在它上面的荷载分布形式相一致 原地面 变形后的地面 荷载 原地面 反力 2 弹性地基上的绝对刚性基础 EI 弹性解 基础两端应力为无穷大实际情况 马鞍形 刚性基础 基底压力的分布形式与作用在它上面的荷载分布形式不相一致 3 弹塑性地基上的有限刚性的基础 0 EI 实际情况 马鞍形 注意土性的影响 荷载的影响当荷载较小时 基底压力分布形状如图a 接近于弹性理论解 荷载增大后 基底压力呈马鞍形 图b 荷载再增大时 边缘塑性破坏区逐渐扩大 所增加的荷载必须靠基底中部力的增大来平衡 基底压力图形可变为抛物线型 图d
8、 以至倒钟形分布 图c 目前 在地基计算中 允许采用简化方法 即假定基底压力按直线分布的材料力学方法 基底压力简化计算基底压力分布是很复杂的 一般并非线形分布 当基础有一定刚度且基底尺寸较小时 工程上常将基底压力假定为线形分布 应用材料力学理论进行简化计算 轴心荷载下的基底压力计算 作用于基础上的竖向力设计值 基础自重设计值及其上回填土重标准值的总重 kN rG为基础及回填土之平均重度 一般取20kN m3 但在地下水位以下部分应扣去浮力 即取10kN m3 d 基础平均埋深 从基底到室内外平均设计地面 A 基底面积 m2 对矩形基础A lbl和b分别为其的长和宽 偏心荷载下的基底压力计算Pm
9、axPmin 分别为基础底面边缘的最大 最小压力设计值 kPa M 基础底面形心的力矩设计值 kN m W 基础底面的抵抗矩 m3 3a e l 6 e l 6 e Pmin Pmax b c 3a Pmax N e Pmin 0 或 当e l 6时 基底压力分布图呈梯形 图b 当e l 6时 则呈三角形 图c 当e l 6时 按计算结果 距偏心荷载较远的基底边缘反力为负值 即pmin 0 图c 此时 例题 如图所示桥墩基础 已知基础底面尺寸b 4m l 10m 作用在基础底面中心的荷载N 4000kN M 800kN m 计算基础底面的压力 a b 4m F 荷载双向偏心时 地基边缘反力表达
10、式如下 N 作用于基底的总竖向力 基底附加压力计算一般情况下 建筑物建造前天然土层在自重作用下的变形早已结束 因此 只有基底附加压力才能引起地基的附加应力和变形 基底附加压力 基础底面处地基土在初始应力基础上增加的压力即基底压力扣除因基础埋深所开挖的自重应力之后在基底处施加于地基上的单位面积压力 亦称基底净压力 地基附加应力 地基附加应力是引起建筑物沉降的主要原因 在计算地基中的附加应力时 假定地基土是连续 均质 各向同性的半无限空间线弹性体 直接弹性力学中关于弹性半空间的理论解答 一 竖向集中荷载作用下的地基附加应力布辛涅斯克用弹性理论推导得出 讨论 z的分布特征 沿F作用线方向 z随深度而
11、减小 地面下任一深度的水平面上 在集中力作用线上的附加应力最大 向两侧逐渐减小 r 0的竖向线上 z z 0 增大 减小 剖面图上的附加应力等值线 在空间上附加应力等值面呈泡状 称应力泡 结论 集中力F在地基中引起的附加应力的分布是向下 向四周无限扩散开的 竖向集中力作用下竖向附加应力分布规律 课堂讨论 相邻基础会不会相互影响 二 竖向分布荷载作用下的地基附加应力计算 1 矩形面积竖直均布荷载作用下地基中的竖向附加应力在地基表面作用一分布于矩形面积 l b 上的均布荷载P 计算矩形面积中点下深度z处M点的竖向应力z值 可从下式解得 微面积dxdy上的微集中力p0dxdy 基底角点O下z深度处所
12、引起的附加应力为 a0 竖直均布压力矩形基底角点下的附加应力系数 它是m n的函数 其中m l b n z b 查P55表3 23 3l 矩形的长边 b 矩形的短边 z 从基底面起算的深度 基底净压力 a0值可直接查表 公式用于计算一个矩形面积角点下的竖向附加应力z 对于在实际基底面积范围以内或以外任意点下的竖向附加应力z 采用 角点法 计算 角点法 利用上式逐个计算每个矩形面积角点下的z值 再按叠加原理求得该计算点附加应力z的最后结果 应用 角点法 要注意以下三点 1 用虚线划分的每一个矩形都有一个公共角点 2 所有划分面积的总和应等于原有受荷面积 3 查表时 注意每个小矩形的长边为l 短边
13、为b 注意 1 要使O点成为每个矩形的角点 2 基础范围外 虚线 所构成的矩形其实是虚设的荷载分布的范围 因而要减去其 产生 的附加应力 矩形面积竖直三角形分布荷载作用下地基中的竖向附加应力当地基表面作用矩形面积 l b 三角形分布荷载时 为计算荷载为零的角点下的竖向应力值 可将坐标原点取在荷载为零的角点上 相应的竖向应力值可用下式计算 荷载强度为零的角点下 根据叠加原理 荷载强度最大的角点下 任意点下的附加应力亦可按角点法计算 应力系数Kt1是n l b和m z b的函数 查P59表3 3注意 这里b值不是指基础的宽度 而是指三角形荷载分布方向的矩形边长 注意 b为沿荷载变化方向矩形基底边长
14、 l为矩形基底另一边长 同理 计算中可利用角点法 例1 如图所示 矩形基底长为4m 宽为2m 基础埋深为0 5m 基础两侧土的重度为18kN m3 由上部中心荷载和基础自重计算的基底均布压力为140kPa 试求基础中心O点下及A点下 H点下z 1m深度处的竖向附加应力 解 1 先求基底净压力 基底附加应力 P0 由已知条件 2 求O点下1m深处地基附加应力sz O点是矩形面积OGbE OGaF OAdF OAcE的共同角点 这四块面积相等 长度l 宽度b均相同 故其附加应力系数Kc相同 根据l b z的值可得查表得a0 0 1999 所以 4a0P0 3 求A点下1m深处竖向附加应力szA A
15、点是AcbG AdaG两块矩形的公共角点 这两块面积相等 长度l 宽度b均相同 故其附加应力系数Kc相同 根据l b z的值可得查表 应用线性插值方法可得a0 0 2315 所以 4 求H点下1m深度处竖向应力szH H点是HGbQ HSaG HAcQ HAdS的公共角点 szH是由四块面积各自引起的附加应力的叠加 对于HGbQ HSaG两块面积 长度l宽度b均相同查表 利用双向线性插值得a0 0 2350 2a0 对于HAcQ HAdS两块面积 长度l宽度b均相同查表 得a0 0 1350 则szH可按叠加原理求得 例2 有一矩形面积 l 5m b 3m 三角形分布的荷载作用在地基表面 荷载
16、最大值p 100kPa 计算在矩形面积内O点下深度z 3m处M点的竖向应力 解 本例题求解时要采用二次叠加法计算 第一次是荷载作用面积的叠加 即前述的角点法 第二次是荷载分布图形的叠加 O 1m 2m 1m 4m M 3m A D F C B O p O 1 4 2 3 编号 荷载作用面积 a h e b f d g c 1234 aeohebfoofcghogd n l b m z b a 1 1 14 1 44 2 21 2 0 5 3 1 33 1 33 2 1 53 2 1 5 0 02140 04490 06820 0313 三角形 矩形 1 1 14 1 44 2 22 1 2 3
17、 1 33 1 33 2 1 53 2 1 5 三角形 矩形 三角形 矩形 0 0450 0930 1560 073 P 100kPa 均布条形荷载作用下土中应力计算条形荷载下土中应力计算属于平面应变问题 对路堤 堤坝以及长宽比l b 10的条形基础均可视作平面应变问题进行处理 如图所示 在土体表面作用分布宽度为b的均布条形荷载p时 土中任一点的竖向应力 z可采用弹性理论中的弗拉曼公式在荷载分布宽度范围内积分得到 式中应力系数au是n x b及m z b的函数 0 M X Z x z 注意 坐标轴的原点是在均布荷载的中点 b 三角形分布的条形荷载作用下土中应力计算在地基表面作用三角形分布条形荷载 其最大值为P 计算土中M点 x z 的竖向应力 z在宽度b范围内积分得到 式中应力系数aS是n x b及m z b的函数 注意 坐标轴原点在三角形荷载的零点处 p b X Z x z M
