1、回顾泰勒展开与洛朗展开 定理 Laurent 设在圆环域内解析 则对有其中为圆环域内绕的任何一条正向简单闭曲线 定理 Taylor 设函数在圆盘内解析 则 公式法 间接展开法 公式法 间接展开法 练习题 Exercise2 练习题 设在圆环域内解析 且在内有洛朗展开式则有或 4洛朗级数 洛朗展开式的重要应用 利用洛朗展开式求积分 Note2 实际上为第五章的留数定义以及计算做铺垫 Note1 关键在于确定奇点以及函数的解析圆环域 例题与习题 Example1 Example2 Exercise 高阶导数公式 利用洛朗级数系数 利用洛朗级数系数 利用洛朗级数系数 习题 Exercise 第五章留
2、数 1孤立奇点 2留数 3留数在求定积分中的应用 回顾奇点的定义 Thesingularpoint函数不解析的点称为该函数的奇点 严格来说 函数在某一点处不解析 但在这一点的每个邻域内都有解析点 举例 1孤立奇点 1孤立奇点 定义若函数在处不解析 但存在使在内解析 则称为的孤立奇点 Example 奇点的分类 孤立奇点 非孤立奇点 1孤立奇点 即在内解析 则有洛朗级数 主要部分 解析部分 孤立奇点的分类 可去奇点 极点 本性奇点 定义若函数在处不解析 但在的某个去心邻域内处处解析 则称为的孤立奇点 假设是函数的孤立奇点 1孤立奇点 设为的孤立奇点 且有洛朗展开式 1 可去奇点 若 则称为的可去
3、奇点 若是的孤立奇点 如果可以补充定义在的值使得在的某个邻域内解析 则称为的可去奇点 定理1设为的孤立奇点 则为的可去奇点的充要条件是极限存在 Example 1孤立奇点 I由定义来判断 II由定理1来判断 1孤立奇点 2 极点 若存在正整数使 但则称为的级极点 定理2设为的孤立奇点 则为的级极点的充要条件是 1孤立奇点 定理3设为的孤立奇点 则为的级极点的充要条件是极限存在且不等于零 定理4设为的孤立奇点 则为的极点的充要条件是 定理2设为的孤立奇点 则为的级极点的充要条件是 Example 例题 a applythedefinitiontoshowthat b UseTheorem3tos
4、howthat Observethatthefunctionhasasimplepole m 1 at 若存在无穷多个正整数使 则称为的本性奇点 Note 该定理可由定理1与定理4得到证明 1孤立奇点 3 本性奇点 定理5设为的孤立奇点 则为的本性奇点的充要条件是不存在 Example 1孤立奇点 4 函数的零点与极点的关系 若不恒等于零的解析函数可表示成其中在处解析且 为正整数 则称为的级零点 性质若在处解析 则为的级零点的充要条件是 Note 当函数求导比较简便时常用来判断零点的阶数 Note 由定义可得非常值解析函数的零点是孤立的 零点的定义 1孤立奇点 性质若在处解析 则为的级零点的充
5、要条件是 1孤立奇点 定理为的级极点的充要条件是为的级零点 定理2设为的孤立奇点 则为的级极点的充要条件是 4 函数的零点与极点的关系 若不恒等于零的解析函数可表示成其中在处解析且 为正整数 则称为的级零点 1孤立奇点 定理为的级极点的充要条件是为的级零点 Example 1孤立奇点 I II 5 函数在无穷远点的性态 1孤立奇点 在扩充复平面上讨论 定义 如果函数在无穷远点的去心邻域内解析 那么称点为的孤立奇点 提问 在无穷远点的解析性如何判断 1孤立奇点 规定 如果是的可去奇点 级极点或本性奇点 那么称点为的可去奇点 级极点或本性奇点 那么是函数的孤立奇点 即在内解析 则有洛朗级数 假设是函数的孤立奇点 即在内解析 则有洛朗级数 可去奇点极点本性奇点 Example 1孤立奇点 在扩充复平面内有些什么类型的奇点 如果是极点 指出它的级数 是分母函数的三级零点 Exercise 练习题 Note 这是个常用的结论 作业 第五章习题 P 184 2 4 7
