1、第 三章 刚体力学,基本内容：,刚体运动学刚体动力学 定轴转动定律力矩的功 定轴转动动能定理角动量定理 角动量守恒定律,§3.1 刚体运动学,一、 刚体的定义,刚体可以看成是由无数质点构成的质点组，刚体无论在多大的外力作用下或刚体无论作何运动，刚体内任意两质点之间的相对位置保持不变。,对物体而言，考虑了它的形状大小，忽略了形状大小的改变，对物体运动而言，突出了物体整体的转动(或平动)，忽略了质点的振动或其他变形运动。,理想模型,在外力作用下不发生形变的物体称为刚体。,刚体的一般运动 = 转动 + 平动,平动,转动,刚体的运动,定轴转动,非定轴转动,二、 刚体的平动,若连结刚体上任意两
2、质点的直线，在运动中恒不改变其方向，这种运动称为刚体的平动。,刚体作平动时，刚体上任一点的运动都可代表整个刚体的运动，所以把刚体可简化为一质点来处理。刚体平动的规律完全符合前面介绍的质点运动规律。,1、刚体的转动刚体运行时，如果刚体在某时刻的各个质点在运动中都绕同一直线作圆周运动，这种运动称为转动，该直线称为转轴。,三、 刚体的定轴转动,2、刚体的定轴转动若转轴是固定不动的，则刚体的转动称为定轴转动。,刚体的一般运动可看成刚体质心的平动与绕过质心的轴的定轴转动的合运动。,3、描述刚体转动的物理量,转动平面：垂直于转动轴所作的平面,刚体重任一质点都在各自的转动平面内作圆周运动，且具有相同的角位移
3、、角速度、角加速度。描述刚体转动的物理量是角位移、角速度、角加速度等。,以刚体中的P点为例。,(1) 角位移开始时质点P在X轴，经t时间, 转过的角度为，即为角位移。,方向规定：,（2）角速度 刚体对转轴的(瞬时)角速度,俯视转轴观察时，刚体沿反时针方向转时时，为正值；刚体沿顺时针方向转动时，为负值。,方向： 它的方向与刚体转动方向之间的关系按右手螺旋定则。,角速度为常矢量的刚体转动称为匀速转动,(3) 角加速度:刚体对转轴的(瞬时)角加速度大小为,方向：当刚体转动加快时角加速度方向与角速度方向相同；当刚体转动减慢时两者方向相反。,设向上为正方向,若角加速度为恒矢量，这种变速转动称为匀变速转动
4、,运动方程：,当刚体转动加快21，则0，为正值，方向向上；,当刚体转动减慢21,则0，为负值，方向向下。,=o+t =o+ot+t2/22 -2o =2(-o),4、角量与线量的关系,例1一电动机的电枢每分钟转1800圈，当切断电源后，电枢经20s停下。试求：（1）在此时间内电枢转了多少圈？（2）电枢在10s时的角速度及其周边的线速度，切向加速度和法向加速度。（设r=10cm）,解：（1）,（2）,§3.2 转动定律（定轴转动）,一、力矩,力作用于P点，把这个力分成两个分量： F1平行于转轴，不能使刚体发生转动，F2在转动平面内，可分为F2cos；F2sin，其中F2cos使刚体转动
5、。,实践证明： r-定时，F2sin越大，所产生的角加速度越大；F2sin-定时，r越大，所产生的角加速度越大。,rsin=d表示转轴到力在转动平面上的分力作用线的垂直距离，称力臂。,方向:遵循右手螺旋定则，即沿转轴方向,垂直于f与r所组成的平面,即转动平面。 单位： 米·牛顿(m·N),定轴转动时，如果有几个外力同时作用在刚体上，合力矩的量值等于这几个力各自的力矩的代数和(因M方向沿转轴方向)。,二、 转动定律,力在转动平面内可分解为径向分量和切向分量，径向分量的作用线通过转轴，其力矩为零，不予考虑。,所受其它质点对它作用的合内力在转动平面内的分力为,平行于轴的力，其力矩
6、为零不考虑。,以刚体中某质点P点来研究, 其质量为mi;t时刻的角加速度为，所受的合外力在转动平面内的分力为,在切向根据牛顿第二定律得：,两边同乘以ri得,刚体中的所有质点都可写出上式方程，把所有方程相加可得：,合外力矩,刚体对OZ定轴的转动惯量,合内力矩,以两质点为例分析合内力矩,内力中任一对作用力与反作用力大小相等，方向相反，则任一对作用力与反作用力的力矩相加为零。,力矩是改变刚体转动状态的原因(与F=ma相比较，力是改变质点运动状态的原因)；转动惯量是刚体转动惯性大小的量度 (m是质点惯性大小的量度)。,刚体定轴转动的转动定律,合内力矩,1、 定义：,若刚体的质量是连续分布的上式应写成积
7、分形式：,2、 单位： 千克·米2(kg·m2),3、 说明： (1) 与刚体的形状、大小、质量以及质量分布有关。,三、 转动惯量,转动惯量I等于刚体中每个质点的质量与此质点到转轴的距离平方的乘积的总和。,(2) 转动惯量与转轴的位置有关,刚体对任一转轴的转动惯量I等于对过刚体质心的平行转轴的转动惯量Ic和二轴间的垂直距离d的平方与刚体质量的乘积之和。,当刚体以及转轴一定时，转动惯量为一定值，与刚体的转动状态无关。,4、平行轴定理,例2 质量为m,长度为 L 的均质细杆绕经过一端的转轴转动的转动惯量。,解：,例3 均质细圆环的转动惯量,解：,例4质量为m，半径为R 的均质圆
8、盘的转动惯量。,dm,解：,例5、质量为m，半径为R的匀质圆盘，可绕光滑水平轴转动，现以一轻绳绕轮边缘，下端系一质量为m的物体。求圆盘由静止开始转动后，转过的角度和时间的关系。,a,mg,T,解：对物体受力分析，对圆盘分析所受力矩，并分别利用牛顿定律和转动定律列方程,先求 ：,再求 ：,例6 在图示的装置中求 ：T1，T2， a ，（滑轮可视作均质圆盘）。,质点的外力作用下发生位移时，力对质点作了功；刚体在外力作用下绕定轴转动而发生角位移时，力矩对刚体作了功。,设dt时间内，刚体绕O点转过极小角位移d,质点P移动位移为,以刚体中某一质点P来研究,§3.3 力矩的功 定轴转动动能定理,
9、一、 力矩的功,力对质点P在这段位移中所作为功为：,表明力矩对质点(或刚体)所作的元功等于力矩和角位移的乘积。,当刚体在恒力矩M作用下转运角时，力矩所作的功为：,(2),当力矩与角速度同方向时，力矩的功为正值；当力矩与角速度反方向时，力矩的功为负值。,注： 以上公式中M均是指作用在刚体上的合外力矩。,当刚体在变力矩作用下，力矩所作的功,(3),二、 力矩的功率,单位时间内力矩所作的功。,描述力矩对刚体作功的快慢的物理量。,三、 刚体转动动能,设各质点的质量分别为m1、m2mn，线速率分别为V1、V2Vn，与转轴的距离分别为r1、r2rn，当刚体以角速度绕定轴转动时，各个质点的角速度均是。,第I
10、个质点的动能为：,则整个刚体的动能是所有质点的动能之和，即为：,四、 刚体定轴转动中的动能定理,设在合外力矩M的作用下,转动定律,假设I为常量，当刚体的角速度从t1时刻的1改变为t2时刻的2时，合外力矩对刚体所作的功为：,合外力矩对定轴刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。,例7 一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于水平位置，然后让它自由下落。求：,解一：,解二：,§3.4 角动量定理 角动量守恒定律,1、质点角动量(动量矩),一、角动量(动量矩),2。刚体角动量（动量矩）,第i个质点的角动量,因每个质点的角动量方向相同，所以刚体的角动量为每个质点角动量的代数和,动量矩： 刚体绕某一
11、定轴的转动惯量I与刚体的角速度的乘积，称为刚体对该转轴的动量矩(角动量)。,单位： 千克·米2·秒-1(kg·m2·s-1)量纲：ML2T-1,二、 刚体冲量矩,冲量矩表示力矩在时间过程中的累积效应，是描述刚体的转动状态发生改变的物理量。,冲量矩： 刚体所受合外力矩与力矩作用时间的乘积。,在dt时间元内，冲量矩为,在t1t2时间内，冲量矩为,米·牛顿·秒,三、 角动量定理(动量矩定理),刚体对某一定轴转动惯量是一恒量,角动量随时间的变化率等于作用刚体上定轴的合外力矩。它是转动定律的另一表达方式。,转动定律,此式不仅适用于绕轴转动刚体的
12、转动惯量I为恒量过程，也适用于在刚体转动过程，I发生变化的过程，而M=I仅适用于转动惯量不变的过程。,当刚体转动过程I不变时，刚体从t1时刻到t2时刻的角速度,当刚体转动过程I发生变化时，刚体的角速度从t1时刻的1变为t2时刻的2，转动惯量由I1变为I2。,动量矩定理,转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内转动刚体动量矩的增量,刚体所受的合外力矩为零时，刚体的角动量保持不变。,四、 角动量守恒定律(动量矩守恒定律),角动量守恒的两种情况： 1、转动惯量和角速度均保持不变，刚体绕定轴作匀速转动。 2、转动惯量和角速度同时改变，但两者乘积不变,当I变大时， 角速度变小；当I变小时，角速度变大
13、。,花样滑冰运动员通过改变身体姿态即改变转动惯量来改变转速,运动员身体旋转时，两臂伸开，然后迅速收回两臂，这时旋转的速度将增大，这是由于转动惯量变小的缘故。,例8 两摩擦轮对接。若对接前两轮的角速度分别为1、 2。求：对接后共同的角速度以及对接过程中的机械能损失。,解：由角动量守恒得：,例9如图示，人和转盘的转动惯量I0，哑铃的质量为m，初始转速为1。求：双臂收缩由r1 变为r2时的角速度及机械能的增量。,解：由角动量守恒得：,非保守内力作正功 ，机械能增加,例10 如图示，一质量为M，长度为L的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为m的橡皮泥以速度v 和在如图位置与杆发生完全非弹性碰撞且和杆子粘在一起。,试求： 1、 碰撞后系统的角速度； 2、 碰撞后杆子能上摆的最大角度。,解：碰撞过程角动量守恒,得：,上摆过程机械能守恒，得：,
