1、1判别孪生三生四生五生六生素数的初等证明务川县实验学校 王若仲（王洪）摘 要:运用特异奇合数的性质，探讨如何判别孪生素数、三生素数、四生素数、五生素数、六生素数、七生素数、八生素数。关键词：特异奇数 特异奇合数 孪生素数孪生素数的概念：当两个素数的差为 2 时，这样的两个素数称为孪生素数。如：3 和 5，5 和 7，11 和 13，17 和 19，29 和 31 等等。三生素数的概念：若有三个素数，其中有两个素数的差为 2，有两个素数的差为 4 时，这样的三个素数称为三生素数。如：3 和 5 以及 7，5 和 7 以及11，11 和 13 以及 17，17 和 19 以及 23 等等。四生素数
2、的概念：若有四个素数，其中有两对素数的差为 2，有两个素数的差为 4 时或者其中有两对素数的差为 4，有一对素数的差为 2 时，这样的四个素数称为四生素数。如：5 和 7 以及 11 和 13，11 和 13 以及 17 和 19，13和 17 以及 19 和 23 等等。五生素数的概念：若有五个素数，其中有两对素数的差为 2，有两对素数的差为 4 时，这样的五个素数称为五生素数。如：7 和 11 以及 13 以及 17 和19，11 和 13 以及 17 和 19 以及 23 等等。六生素数的概念：若有六个素数，其中有三对素数的差为 2，有两对素数的差为 4 时或者其中有三对素数的差为 4，
3、有两对素数的差为 2 时，这样的六个素数称为六生素数。如：3 和 5 以及 7 和 11 以及 13 和 17，5 和 7 以及 11和 13 以及 17 和 19，7 以及 11 和 13 以及 17 和 19 以及 23 等等。七生素数的概念：若有七个素数，其中有四对素数的差为 2，有三对素数的差为 4 时或者其中有三对素数的差为 2，有三对素数的差为 4 时，这样的七2个素数称为七生素数。如：3 和 5 以及 7 和 11 以及 13 和 17 以及 19，5 和 7 以及 11 和 13 以及 17 和 19 以及 23 等等。八生素数的概念：若有八个素数，其中有四对素数的差为 2，有
4、四对素数的差为 4 时或者其中有三对素数的差为 2，有四对素数的差为 4 时，这样的八个素数称为八生素数。如：3 和 5 以及 7 和 11 以及 13 和 17 以及 19 和 23。由 全 体 奇 数 组 成 的 集 合 ， 称 为 奇 数 集 合 。 记 为 G 。定义 1：奇数集合G中（除 1 外） ，不能被 3 整除的整数，称为特异奇数。如：5，7，11，13，17，19，23，25，29，。定 义 2： 由 全 体 特 异 奇 数 组 成 的 集 合 ， 称 为 特 异 奇 数 集 合 。 记 为 G 。定理 1:任一特异奇数均可表为 6k+1 或 6k1 的形式,kN,k0；G=
5、5，7，11，13，(61)， (6+1)，。证明:因为集合G中能被 3 整除的整数均可表为 3(2m-1)的形式，mN， m0。令3(2m-1)+2=6m-1,3(2m-1)-2=6(m-1)+1, 对于6(m-1)+1 ， m1 。则(6m-1)和6(m-1)+1均为不能被 3 整除的奇数,根据定义 1,(6m-1)为特异奇数，6(m-1)+1 （m1）也为特异奇数。故定理 1 成立。定理 2:若 p 为素数(除 2 和 3 外),那么 pG 。证明:因为 p 为素数(除 2 和 3 外),所以 p 是奇数,p 不能被 3 整除,根据定义 1,pG 。定义 3：我们把既是特异奇数,又是素数
6、的整数,称为特异素数。如:5，7，11，13，17，19 等等。定义 4：我们把既是特异奇数,又是合数的整数,称为特异奇合数。如:25,35,49,55,77等等。3定理 3:对于任一特异奇合数,均可表为下列三种形式之一:(1)=36kh-6k-6h+1，(2)=36kh+6k+6h+1，(3)=36kh+6k-6h-1，其中 kN,hN,k0,h0。证明:对于任一特异奇合数,总可以分解为两个特异奇数的乘积,我们令=,根据定理 1,=6k+1 或 6k1,kN,k0,=6h +1 或 6h1,hN,h 0。则有情形：(1)=(6k1)( 6h1) =36kh-6k-6h+1,（2）=(6k+1
7、)(6h+1)=36kh+6k+6h+1,（3）=(6k+1)(6h-1)=36kh-6k+6h-1,（4）=(6k-1)(6h+1) =36kh+6k-6h-1。因为36kh+6k-6h-1k,h=、n、=36kh-6k+6h-1k,h=、n、,故定理 3 成立。定理 4:对于某一特异奇数,关于下列不定方程:36xy-6x-6y+1= (1)36xy+6x+6y+1= (2)36xy+6x-6y-1= (3)若不定方程(1),(2),(3)中至少有一个不定方程有正整数解,那么特异奇数为特异奇合数。证明:假设不定方程 36xy-6x-6y+1=有正整数解,不妨令x=k,y=h,kN,hN,k0
8、,h0,则=36kh-6k-6h+1。根据定理 3, 那么特异奇数为特异4奇合数。同理可证其它情形。故定理 4 成立。定理 5:对于某一特异奇数,关于下列不定方程:36xy-6x-6y+1= (1)36xy+6x+6y+1= (2)36xy+6x-6y-1= (3)若特异奇数为特异奇合数,那么不定方程(1),(2),(3)中至少有一个不定方程有正整数解。证明:因为特异奇数为特异奇合数,根据定理 3,我们不妨设=36kh+6k-6h-1,其中kN,hN,k0,h0。对于不定方程(3),我们令 x=k,y=h,则不定方程 (3)有正整数解。同理可证其它情形。故定理 5 成立。定理 6: 对于某一特
9、异奇数,关于下列不定方程:36xy-6x-6y+1= (1)36xy+6x+6y+1= (2)36xy+6x-6y-1= (3)若不定方程(1),(2),(3)均无正整数解,那么特异奇数为特异素数。证明:假定特异奇数为特异奇合数,根据定理 5,不定方程(1),(2),(3)中至少有一个不定方程有正整数解,这与题设产生矛盾, 故定理 6 成立。定理 7:对于某一特异奇数,关于下列不定方程:36xy-6x-6y+1= (1)36xy+6x+6y+1= (2)36xy+6x-6y-1= (3)5若特异奇数为特异素数,那么不定方程(1),(2),(3)均无正整数解。证明:假定不定方程(1),(2),(
10、3)中至少有一个不定方程有正整数解,根据定理 4,那么特异奇数为特异奇合数。这与题设产生矛盾,故定理 7 成立。定理 8:对于特异奇数和,=6k1,=6k+1,kN,k0,关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)若不定方程(1),(2),(3)中至少有一个不定方程有正整数解,那么特异奇数和中至少有一个为特异奇合数。证明:对于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)我们不妨设不定方程(3)有正整数解,令 x=p,y=q,pN,qN,p0，q0。则有 6pq+p-q=k,即 36pq+6p-
11、6q-1=6k-1,由定理 3 知,6k-1 为特异奇合数。同理可证其它情形。故定理 8 成立。例：6×2×3-2-3=31，31×6+1=187，187 是特异奇合数。6×2×3+2-3=35，35×6-1=209，209 是特异奇合数。定理 9:对于特异奇数和,=6k1,=6k+1,kN,k0, 关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)66xy+x-y=k (3)若特异奇数和中至少有一个特异奇数为特异奇合数,那么不定方程(1),(2),(3)中至少有一个不定方程有正整数解。证明:对于特异奇数和,我们不
12、妨设特异奇数为特异奇合数, 根据定理 3,我们令=36pq-6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令 x=p,y=q,说明不定方程 (1)有正整数解。同理可证其它情形。故定理 9 成立。定理 10:对于特异奇数和,=6k1,=6k+1,kN,k0,关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)若不定方程(1),(2),(3)均无正整数解,那么特异奇数和为孪生素数。证明:假定特异奇数和不为孪生素数，因为=6k1,=6k+1,kN,k0,那么特异奇数和中至少有一个为特异奇合数：()我们不妨设特异奇数为特异奇合数,根据定理 3,我们令=36pq-
13、6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令 x=p,y=q,说明不定方程(1) 有正整数解，这与题设产生矛盾。()我们还是不妨设特异奇数为特异奇合数,根据定理 3,我们令=36pq+6p+6q+1,pN,qN,p0，q0,又令 x=p,y=q,说明不定方程 (2)有正整数解，这与题设产生矛盾。()我们不妨设特异奇数为特异奇合数,根据定理 3,我们令=36pq+6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令 x=p,y=q,说明不定方程(3) 有正整数解，这与题设产生矛盾。故定理 10 成立。7例：6xy-x-y=5，6xy +x+y=5 ，6xy +x-y=5 等三个不定方程均无正整数解,6&
14、#215;5-1=29，6×5+1=31，则 29 和 31 为孪生素数。6xy -x-y=17，6xy +x+y=17 ，6xy +x-y=17等三个不定方程均无正整数解,6×17-1=101，6×17+1=103，则 101 和 103 为孪生素数。定理 11:对于特异奇数和,=6k-1,=6k+1,kN,k0, 关于下列不定方程:6xy -x-y=k (1)6xy +x+y=k (2)6xy +x-y=k (3)若特异奇数和为孪生素数,那么不定方程(1),(2),(3)均无正整数解。证明:()假定不定方程(1)有正整数解，我们不妨设x=p，y=q，pN,qN
15、,p0，q0,则有 6pq-p-q=k，变换可得 36pq-6p-6q+1=6k+1，根据定理 3,则特异奇数为特异奇合数，这与题设产生矛盾。()假定不定方程(2)有正整数解，我们又不妨设 x=p，y= q，pN,qN,p0，q0,则有 6pq+p+q=k，变换可得 36pq+6p+6q+1=6k+1，根据定理 3,则特异奇数为特异奇合数，这与题设产生矛盾。()假定不定方程(3)有正整数解，我们又不妨设 x=p，y= q，pN,qN,p0，q0,则有 6pq+p-q=k，变换可得 36pq+6p-6q-1=6k-1，根据定理 3,则特异奇数为特异奇合数，这与题设产生矛盾。故定理 11 成立。定
16、理 12: 对于特异奇数和以及 c,=6k1,=6k+1, c=6(k-1)+1,kN,k1,关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)86xy-x-y+1=k (4)6xy+x+y+1=k (5)若不定方程(1),(2),(3)，(4),(5)中至少有一个不定方程有正整数解,那么特异奇数和以及 c 中至少有一个为特异奇合数。证明:对于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy-x-y+1=k (4)6xy+x+y+1=k (5)我们不妨设不定方程(3)有正整数解,令 x=p,y=q,
17、pN,qN,p0，q0。则有 6pq+p-q=k,即 36pq+6p-6q-1=6k-1,由定理 3 知,6k-1 为特异奇合数。同理可证其它情形。故定理 12 成立。定理 13: 对于特异奇数和以及 c,=6k1,=6k+1, c=6(k-1)+1,kN,k1, 关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy-x-y+1=k (4)6xy+x+y+1=k (5)若特异奇数和以及 c 中至少有一个特异奇数为特异奇合数,那么不定方程(1),(2),(3)，9(4),(5)中至少有一个不定方程有正整数解。证明:对于特异奇数和以及 c,我们不妨
18、设特异奇数为特异奇合数, 根据定理 3,我们令=36pq-6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令 x=p,y=q,说明不定方程(1)有正整数解。同理可证其它情形。故定理 13 成立。定理 14: 对于特异奇数和以及 c,=6k1,=6k+1, c=6(k-1)+1,kN,k1,关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy-x-y+1=k (4)6xy+x+y+1=k (5)若不定方程(1),(2),(3)，(4),(5)均无正整数解,那么特异奇数和以及 c 为三生素数。证明:假定特异奇数和以及 c 不为三生素数，因为=6k1,=6
19、k+1, c=6(k-1)+1,kN,k1,那么特异奇数和以及 c 中至少有一个为特异奇合数：()我们不妨设特异奇数为特异奇合数,根据定理 3,我们令=36pq-6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令 x=p,y=q,说明不定方程(1) 有正整数解，这与题设产生矛盾。()我们还是不妨设特异奇数为特异奇合数,根据定理 3,我们令=36pq+6p+6q+1,pN,qN,p0，q0,又令 x=p,y=q,说明不定方程 (2)有正整数解，这与题设产生矛盾。()我们不妨设特异奇数为特异奇合数,根据定理 3,我们令=36pq+6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令 x=p,y=q,说明不定方程
20、(3) 有正整数解，这与题设产生10矛盾。() 我们不妨设特异奇数 c 为特异奇合数,根据定理 3, 我们令 c=36pq-6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令 x=p,y=q,说明不定方程(4) 有正整数解，这与题设产生矛盾。() 我们不妨设特异奇数 c 为特异奇合数,根据定理 3, 我们令c=36pq+6p+6q+1,pN,qN,p0，q0,又令 x=p,y=q,说明不定方程 (5)有正整数解，这与题设产生矛盾。故定理 14 成立。定理 15: 对于特异奇数和以及 c,=6k-1,=6k+1, c=6(k-1)+1,kN,k1, 关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+
21、x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy-x-y+1=k (4)6xy+x+y+1=k (5)若特异奇数和以及 c 为三生素数,那么不定方程(1),(2),(3) ,(4),(5)均无正整数解。证明:()假定不定方程(1)有正整数解，我们不妨设x=p，y=q，pN,qN,p0，q0,则有 6pq-p-q=k，变换可得 36pq-6p-6q+1=6k+1，根据定理 3,则特异奇数为特异奇合数，这与题设产生矛盾。()假定不定方程(2)有正整数解，我们又不妨设 x=p，y= q，pN,qN,p0，q0,则有 6pq+p+q=k，变换可得 36pq+6p+6q+1=6k+1，根据定理 3,则
22、特异奇数为特异奇合数，这与题设产生矛盾。()假定不定方程(3)有正整数解，我们又不妨设 x=p，y= q，pN,qN,p0，q0,则11有 6pq+p-q=k，变换可得 36pq+6p-6q-1=6k-1，根据定理 3,则特异奇数为特异奇合数，这与题设产生矛盾。故定理 11 成立。() 假定不定方程(4)有正整数解，我们不妨设 x=p，y=q，pN,qN,p0，q0,则有 6pq-p-q=k-1，变换可得 36pq-6p-6q+1=6(k-1)+1，根据定理 3,则特异奇数 c 为特异奇合数，这与题设产生矛盾。() 假定不定方程(5)有正整数解，我们不妨设 x=p，y=q，pN,qN,p0，q
23、0,则有 6pq+p+q=k-1，变换可得 36pq+6p+6q+1=6(k-1)+1，根据定理 3,则特异奇数 c 为特异奇合数，这与题设产生矛盾。故定理 15 成立。定理 16: 对于特异奇数和以及 c,=6k1,=6k+1, c=6(k+1)-1,kN,k0,关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy+x-y-1=k (4)若不定方程(1),(2),(3)，(4)中至少有一个不定方程有正整数解,那么特异奇数和以及c 中至少有一个为特异奇合数。证明:对于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-
24、y=k (3)6xy+x-y-1=k (4)12我们不妨设不定方程(3)有正整数解,令 x=p,y=q,pN,qN,p0，q0。则有 6pq+p-q=k,即 36pq+6p-6q-1=6k-1,由定理 3 知,6k-1 为特异奇合数。同理可证其它情形。故定理 16 成立。定理 17: 对于特异奇数和以及 c,=6k1,=6k+1, c=6(k+1)-1,kN,k0, 关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy+x-y-1=k (4)若特异奇数和以及 c 中至少有一个特异奇数为特异奇合数,那么不定方程(1),(2),(3)，(4)中至少
25、有一个不定方程有正整数解。证明:对于特异奇数和以及 c,我们不妨设特异奇数为特异奇合数, 根据定理 3,我们令=36pq-6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令 x=p,y=q,说明不定方程(1)有正整数解。同理可证其它情形。故定理 17 成立。定理 18: 对于特异奇数和以及 c,=6k1,=6k+1, c=6(k+1)-1,kN,k0,关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy+x-y-1=k (4)若不定方程(1),(2),(3)，(4)均无正整数解,那么特异奇数和以及 c 为三生素数。13证明:假定特异奇数和以及 c 不
26、为三生素数，因为=6k1,=6k+1, c=6(k+1)-1,kN,k0,那么特异奇数和以及 c 中至少有一个为特异奇合数：()我们不妨设特异奇数为特异奇合数,根据定理 3,我们令=36pq-6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令 x=p,y=q,说明不定方程(1) 有正整数解，这与题设产生矛盾。()我们还是不妨设特异奇数为特异奇合数,根据定理 3,我们令=36pq+6p+6q+1,pN,qN,p0，q0,又令 x=p,y=q,说明不定方程 (2)有正整数解，这与题设产生矛盾。()我们不妨设特异奇数为特异奇合数,根据定理 3,我们令=36pq+6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令
27、 x=p,y=q,说明不定方程(3) 有正整数解，这与题设产生矛盾。() 我们不妨设特异奇数 c 为特异奇合数,根据定理 3, 我们令 c=36pq+6p-6q-1,pN,qN,p0，q0,又令 x=p,y=q,说明不定方程(4)有正整数解，这与题设产生矛盾。故定理 18 成立。定理 19: 对于特异奇数和以及 c,=6k-1,=6k+1, c=6(k+1)-1,kN,k0, 关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy+x-y-1=k (4)若特异奇数和以及 c 为三生素数,那么不定方程(1),(2),(3)，(4)均无正整数解。证明
28、:()假定不定方程(1)有正整数解，我们不妨设14x=p，y=q，pN,qN,p0，q0,则有 6pq-p-q=k，变换可得 36pq-6p-6q+1=6k+1，根据定理 3,则特异奇数为特异奇合数，这与题设产生矛盾。()假定不定方程(2)有正整数解，我们又不妨设 x=p，y= q，pN,qN,p0，q0,则有 6pq+p+q=k，变换可得 36pq+6p+6q+1=6k+1，根据定理 3,则特异奇数为特异奇合数，这与题设产生矛盾。()假定不定方程(3)有正整数解，我们又不妨设 x=p，y= q，pN,qN,p0，q0,则有 6pq+p-q=k，变换可得 36pq+6p-6q-1=6k-1，根
29、据定理 3,则特异奇数为特异奇合数，这与题设产生矛盾。故定理 11 成立。() 假定不定方程(4)有正整数解，我们不妨设 x=p，y=q，pN,qN,p0，q0,则有 6pq+p-q=k+1，变换可得 36pq+6p-6q+1=6(k+1)-1，根据定理 3,则特异奇数 c 为特异奇合数，这与题设产生矛盾。故定理 19 成立。定理 20: 对于特异奇数和以及 c 和 d,=6k1,=6k+1, c=6(k+1)-1, d=6(k+1)+1,kN,k0,关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy-x-y-1=k (4)6xy+x+y-1
30、=k (5)6xy+x-y-1=k (6)若不定方程(1),(2),(3)，(4),(5)，(6)中至少有一个不定方程有正整数解,那么特异奇数和以及 c 和 d 中至少有一个为特异奇合数。证明:对于下列不定方程:156xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy-x-y-1=k (4)6xy+x+y-1=k (5)6xy+x-y-1=k (6)我们不妨设不定方程(3)有正整数解,令 x=p,y=q,pN,qN,p0，q0。则有 6pq+p-q=k,即 36pq+6p-6q-1=6k-1,由定理 3 知,6k-1 为特异奇合数。同理可证其它情形。故定理 20
31、 成立。定理 21: 对于特异奇数和以及 c 和 d,=6k1,=6k+1, c=6(k+1)-1, d=6(k+1)+1,kN,k0,关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy-x-y-1=k (4)6xy+x+y-1=k (5)6xy+x-y-1=k (6)若特异奇数和以及 c 和 d 中至少有一个特异奇数为特异奇合数,那么不定方程(1),(2),(3)，(4),(5)，(6)中至少有一个不定方程有正整数解。证明:对于特异奇数和以及 c 和 d,我们不妨设特异奇数为特异奇合数, 根据定理 3,我们令=36pq-6p-6q+1,pN
32、,qN,p0，q0,又令 x=p,y=q,说明不定方程(1)有正16整数解。同理可证其它情形。故定理 21 成立。定理 22: 对于特异奇数和以及 c 和 d,=6k1,=6k+1, c=6(k+1)-1, d=6(k+1)+1,kN,k0,关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy-x-y-1=k (4)6xy+x+y-1=k (5)6xy+x-y-1=k (6)若不定方程(1),(2),(3)，(4),(5)，(6)均无正整数解,那么特异奇数和以及 c 和 d 为四生素数。证明:假定特异奇数和以及 c 和 d 不为四生素数，因为=
33、6k1,=6k+1, c=6(k+1)-1, d=6(k+1)+1,kN,k0,那么特异奇数和以及 c 和 d 中至少有一个为特异奇合数：()我们不妨设特异奇数为特异奇合数,根据定理 3,我们令=36pq-6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令 x=p,y=q,说明不定方程(1) 有正整数解，这与题设产生矛盾。()我们还是不妨设特异奇数为特异奇合数,根据定理 3,我们令=36pq+6p+6q+1,pN,qN,p0，q0,又令 x=p,y=q,说明不定方程 (2)有正整数解，这与题设产生矛盾。()我们不妨设特异奇数为特异奇合数,根据定理 3,我们令=36pq+6p-6q+1,pN,qN,p
34、0，q0,又令 x=p,y=q,说明不定方程(3) 有正整数解，这与题设产生17矛盾。() 我们不妨设特异奇数 c 为特异奇合数,根据定理 3, 我们令 c=36pq+6p-6q-1,pN,qN,p0，q0,又令 x=p,y=q,说明不定方程(6)有正整数解，这与题设产生矛盾。() 我们不妨设特异奇数 d 为特异奇合数,根据定理 3, 我们令d=36pq+6p+6q+1,pN,qN,p0，q0,又令 x=p,y=q,说明不定方程 (5)有正整数解，这与题设产生矛盾。() 我们不妨设特异奇数 d 为特异奇合数,根据定理 3, 我们令 d=36pq-6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令 x
35、=p,y=q,说明不定方程(4) 有正整数解，这与题设产生矛盾。故定理 22 成立。定理 23: 对于特异奇数和以及 c 和 d,=6k-1,=6k+1, c=6(k+1)-1, d=6(k+1)+1,kN,k0, 关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y=k (3)6xy-x-y-1=k (4)6xy+x+y-1=k (5)6xy+x-y-1=k (6)若特异奇数和以及 c 和 d 为四生素数,那么不定方程(1),(2),(3)，(4),(5),(6)均无正整数解。证明:()假定不定方程(1)有正整数解，我们不妨设x=p，y=q，pN,qN,p0，
36、q0,则有 6pq-p-q=k，变换可得 36pq-6p-6q+1=6k+1，根据18定理 3,则特异奇数为特异奇合数，这与题设产生矛盾。()假定不定方程(2)有正整数解，我们又不妨设 x=p，y= q，pN,qN,p0，q0,则有 6pq+p+q=k，变换可得 36pq+6p+6q+1=6k+1，根据定理 3,则特异奇数为特异奇合数，这与题设产生矛盾。()假定不定方程(3)有正整数解，我们又不妨设 x=p，y= q，pN,qN,p0，q0,则有 6pq+p-q=k，变换可得 36pq+6p-6q-1=6k-1，根据定理 3,则特异奇数为特异奇合数，这与题设产生矛盾。() 假定不定方程(4)有
37、正整数解，我们不妨设 x=p，y=q，pN,qN,p0，q0,则有 6pq-p-q=k+1，变换可得 36pq-6p-6q+1=6(k+1)+1，根据定理 3,则特异奇数 d 为特异奇合数，这与题设产生矛盾。() 假定不定方程(5)有正整数解，我们不妨设 x=p，y=q，pN,qN,p0，q0,则有 6pq+p+q=k+1，变换可得 36pq+6p+6q+1=6(k+1)+1，根据定理 3,则特异奇数 d 为特异奇合数，这与题设产生矛盾。() 假定不定方程(6)有正整数解，我们不妨设 x=p，y=q，pN,qN,p0，q0,则有 6pq+p-q=k+1，变换可得 36pq+6p-6q-1=6(
38、k+1)-1，根据定理 3,则特异奇数 c 为特异奇合数，这与题设产生矛盾。故定理 23 成立。定理 24: 对于特异奇数和以及 c 和 d,=6k+1,=6(k+1)-1, c=6(k+1)+1, d=6(k+2)-1,kN,k0,关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y-1=k (3)6xy-x-y-1=k (4)196xy+x+y-1=k (5)6xy+x-y-2=k (6)若不定方程(1),(2),(3)，(4),(5)，(6)中至少有一个不定方程有正整数解,那么特异奇数和以及 c 和 d 中至少有一个为特异奇合数。证明:对于下列不定方程:6
39、xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y-1=k (3)6xy-x-y-1=k (4)6xy+x+y-1=k (5)6xy+x-y-2=k (6)我们不妨设不定方程(3)有正整数解,令 x=p,y=q,pN,qN,p0，q0。则有 6pq+p-q-1=k,即 36pq+6p-6q-1=6(k+1)-1,由定理 3 知, 6(k+1)-1 为特异奇合数。同理可证其它情形。故定理 24 成立。定理 25: 对于特异奇数和以及 c 和 d, =6k+1,=6(k+1)-1, c=6(k+1)+1, d=6(k+2)-1, kN,k0,关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1
40、)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y-1=k (3)6xy-x-y-1=k (4)6xy+x+y-1=k (5)206xy+x-y-2=k (6)若特异奇数和以及 c 和 d 中至少有一个特异奇数为特异奇合数,那么不定方程(1),(2),(3)，(4),(5)，(6)中至少有一个不定方程有正整数解。证明:对于特异奇数和以及 c 和 d,我们不妨设特异奇数为特异奇合数, 根据定理 3,我们令=36pq-6p+6q-1,pN,qN,p0，q0,又令 x=p,y=q,说明不定方程(3)有正整数解。同理可证其它情形。故定理 25 成立。定理 26: 对于特异奇数和以及 c 和 d, =6k+1,
41、=6(k+1)-1, c=6(k+1)+1, d=6(k+2)-1,kN,k0,关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y-1=k (3)6xy-x-y-1=k (4)6xy+x+y-1=k (5)6xy+x-y-2=k (6)若不定方程(1),(2),(3)，(4),(5)，(6)均无正整数解,那么特异奇数和以及 c 和d 为四生素数。证明:假定特异奇数和以及 c 和 d 不为四生素数，因为=6k+1,=6(k+1)-1, c=6(k+1)+1, d=6(k+2)-1,kN,k0,那么特异奇数和以及 c 和 d 中至少有一个为特异奇合数：()我们不妨
42、设特异奇数为特异奇合数,根据定理 3,我们令=36pq-6p+6q-1,pN,qN,p0，q0,又令 x=p,y=q,说明不定方程(3)有正整数解，这与题设产生矛盾。21()我们还是不妨设特异奇数为特异奇合数,根据定理 3,我们令=36pq+6p+6q+1,pN,qN,p0，q0,又令 x=p,y=q,说明不定方程 (2)有正整数解，这与题设产生矛盾。()我们不妨设特异奇数为特异奇合数,根据定理 3,我们令=36pq-6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令 x=p,y=q,说明不定方程(1) 有正整数解，这与题设产生矛盾。() 我们不妨设特异奇数 c 为特异奇合数,根据定理 3, 我们令
43、 c=36pq-6p-6q+1,pN,qN,p0，q0,又令 x=p,y=q,说明不定方程(4) 有正整数解，这与题设产生矛盾。() 我们不妨设特异奇数 c 为特异奇合数,根据定理 3, 我们令d=36pq+6p+6q+1,pN,qN,p0，q0,又令 x=p,y=q,说明不定方程 (5)有正整数解，这与题设产生矛盾。() 我们不妨设特异奇数 d 为特异奇合数,根据定理 3, 我们令 d=36pq+6p-6q-1,pN,qN,p0，q0,又令 x=p,y=q,说明不定方程(6)有正整数解，这与题设产生矛盾。故定理 26 成立。定理 27: 对于特异奇数和以及 c 和 d, =6k+1,=6(k
44、+1)-1, c=6(k+1)+1, d=6(k+2)-1,kN,k0, 关于下列不定方程:6xy-x-y=k (1)6xy+x+y=k (2)6xy+x-y-1=k (3)6xy-x-y-1=k (4)6xy+x+y-1=k (5)226xy+x-y-2=k (6)若特异奇数和以及 c 和 d 为四生素数,那么不定方程(1),(2),(3)，(4),(5),(6)均无正整数解。证明:()假定不定方程(1)有正整数解，我们不妨设x=p，y=q，pN,qN,p0，q0,则有 6pq-p-q=k，变换可得 36pq-6p-6q+1=6k+1，根据定理 3,则特异奇数为特异奇合数，这与题设产生矛盾。
45、()假定不定方程(2)有正整数解，我们又不妨设 x=p，y= q，pN,qN,p0，q0,则有 6pq+p+q=k，变换可得 36pq+6p+6q+1=6k+1，根据定理 3,则特异奇数为特异奇合数，这与题设产生矛盾。()假定不定方程(3)有正整数解，我们又不妨设 x=p，y= q，pN,qN,p0，q0,则有 6pq+p-q-1=k，变换可得 36pq+6p-6q-1=6(k+1)-1，根据定理 3,则特异奇数为特异奇合数，这与题设产生矛盾。() 假定不定方程(4)有正整数解，我们不妨设 x=p，y=q，pN,qN,p0，q0,则有 6pq-p-q=k+1，变换可得 36pq-6p-6q+1
46、=6(k+1)+1，根据定理 3,则特异奇数 c 为特异奇合数，这与题设产生矛盾。() 假定不定方程(5)有正整数解，我们不妨设 x=p，y=q，pN,qN,p0，q0,则有 6pq+p+q=k+1，变换可得 36pq+6p+6q+1=6(k+1)+1，根据定理 3,则特异奇数 c 为特异奇合数，这与题设产生矛盾。() 假定不定方程(6)有正整数解，我们不妨设 x=p，y=q，pN,qN,p0，q0,则有 6pq+p-q=k+2，变换可得 36pq+6p-6q-1=6(k+2)-1，根据定理 3,则特异奇数 d 为特异奇合数，这与题设产生矛盾。故定理 27 成立。定理 28: 对于特异奇数和以及 c 和 d 以及 e,=6(k-1)+1，=6k1, c=6k+1, d=6(k+1)-1, e=6(k+1)+1,kN,k1,关于下列不定方程:236xy-x-y+1=k (1)6xy+x+y
