1、第二章 线性规划关于用单纯形法解线性规划：1. 单纯形法涉及两个规则：(1)进基规则判别数大于零，保证函数值不升；(2)退基规则最小比值，保证新解的容许性.2. 书面通常采用表上作业单纯形表形式解题.3. 单纯形法解线性规划(书面)实质上是单纯形表的转换过程.4. 单纯形法本质上是求解具有标准容许基且右端项非负的典范线性规划的算法.典范线性规划因其含有标准容许基，所以由它的准备表（原始数据表）容易得到第一张单纯形表，单纯形法于是可以启动. 过程如下： .00TTTTBNBNBNIbIbIbcccz 5. 一般来说，解线性规划主要分两大步：第一步，将线性规划化为标准形式（当线性规划为标准形式时不
2、需要这一步） ；这里所说的标准形式是指极小化问题，主约束是右端项非负的等式约束，且变量非负.第二步，对线性规划的标准形式启动两阶段单纯形法(当线性规划的标准形式是典范线性规划时不需要第一阶段，直接进入第二阶段). 第一阶段的目的是变换出与主约束等价的 G-J 方程组，第二阶段是解与原线性规划等价的标准线性规划，即 解原线性规划.6. 单纯形法的基本理论定理 2.9(最优性准则) 在标准线性规划中, 若所有变量关于容许基 的判别数皆B非正，则关于基 的基本容许解是最优解.B定理 2.11（单纯形法基本定理） 对于标准线性规划(1)min;. ,0TcxstAb假设：） 是容许基，关于 的基本容许
3、解是非退化的，即 ；BB10bB）非基变量 的判别数 ；lxl） ， 是用公式（2.36）确定的一个行标；10lak）用 替换 中的 ，而其余基向量不变，构成矩阵 .a那么， 是容许基，且关于 的基本容许解的目标函数值小于关于 的基本容许解的 目标函数值.定理 2.12 在标准线性规划(1)中，假设：） 是容许基；B）非基本变量 的判别数 ； lx0l） .10la那么线性规划(1)存在可以使目标函数值任意减小的容许解.推论 2.14 典范线性规划或者存在最优基本容许解，或者解无界.7. 注意事项. 在例题中说明.例 求解线性规划 13 2min5;. 6,1 0,.jxst解 引入变量 ，将
4、其化为标准形45,x13 24135in;. 6 2,1 0,jxstxx(* 这里所说线性规划的标准形是指，求极小问题、右端项非负、变量非负)第一阶段 增加人工变量 ，解辅助 LP 问题76,1234657min;. 2,1 0,7.jstxxxBx1234567 xb761 -1 6 -1 0 1 01 1 2 0 -1 0 121Tc0 0 0 0 0 -1 -1 02* 0 8 -1 -1 0 0 361x0 -2 4 -1 1 1 -11 1 2 0 -1 0 111T0 -2 4* -1 1 0 -2 131x0 1 41 2 0 322T0 0 0 0 0 -1 -1 0第一阶段
5、结束，得到辅助问题的最优值为 0，最优解 ，从而得到与1,4T原问题等价的标准线性规划的一个基本可行解 .,2x(*辅助 LP 问题是一个总有最优解的典范线性规划问题，即不会发生解无界. 若最优值大于零，则表明原问题无解；若最优值等于零，则最终一定会得到与标准形式的主约束等价的 G-J 方程组，即得到与标准形式等价的典范形式，于是可以启动第二阶段.)(*产生一张单纯形表的原则是，主约束的系数矩阵中含有单位矩阵，所有基变量的判别数为零.)(*单纯形表转换必须施行行运算.)(解辅助 LP，单纯形表转换的根本目标是让人工变量全部退基. 所以在选进基变量与退基变量时，以让人工变量退基为第一选择，其次考虑计算的难易程度.)(*选判别数小于零的变量进基，可保证函数值不升；选比值最小元素所对应的变量退基，可保证新解的容许性.)第二阶段 求解原问题 Bx12345 xxb310 1 1 2 0 21Tc-5 0 -21 0 0 00 0 1493从而得到原问题的最优解 ，其最优值为 .*1,2Tx(*第二阶段求解过程中，若存在某判别数 ，但 ，则原问题解无界；否则，l0la若 ，但 不成立，则原问题一定有最优解.) 0lla
