1、寻找最速降线 数学实验 数学给我们一个用之不竭 充满真理的宝库 这些真理不是孤立的 而是以相互密切的关系并立着 而且随着科学的每一成功进展 我们会不断发现直线真理之间的新的接触点 C F Guass 数学既不严峻 也不遥远 它和几乎所有的人类活动有关 又对每个真心对它感兴趣的人有益 R C Buck 1696年JohnBernoulli向他的兄弟和其他 数学家挑战性地提出了最速降线 捷线 问题 一质量为m的质点 在重力作用下从定点A 沿曲线下滑到定点B 试确定一条曲线 使得质 点由A到B下滑时间最短 假定B比A低 不计摩擦力 和其他阻力等因素 问题导致数学新分支的产生 问题 近似方法 如图建立
2、坐标系 设A为原点 B为 c H 将带状区域0 y H 用平行于x轴的直线y yk kH n 把这区域分成n个带状小区域 在带状域yk 1 y yk 可近似认为 而曲线段近似认为是直线段 其长度 于是质点从A到B所需时间近似为 n 1元函数 求这个函数的极小值 就得到问题的近似解 为简单 计 取g 1000cm s2 In 1 Out 1 In 3 In 4 Graphics 一个辅助结论 设质点从A1经直线l到达A2 质点速度在l的 显然在l一侧质点应走直线 因此关键是质点 OC x那么质点由A1到A2需时间 如图 若A1 A2到l的垂足分 上侧为v1 下侧为v2 则质点如何运动才最省时 别
3、为O D A1 A2到l的距离分别 为a b OD c 质点经过l于C 何时越过l 惟一驻点满足 也即 这就是光学中的Snell折射定律 建立数学模型 分析 如图建坐标系 AB分割成小段 考虑在第k 层与k 1层质点在曲线上的下 滑 依能量守恒律 可近似 认为质点在每层内的速度不 变 于是依辅助结论知 由于上式对任何k成立 故导出 若用与x轴平行的直线将 令平行线的间距趋于零 我们就得到在曲线 上任何一点 其中a为该点切线与铅垂线 的夹角 由于 其中y y x 为曲线函数 又因 于是得到 最速降线的方程 另一种方法 变分法 设曲线为 满足y 0 0 y c H 在曲线上P x y 处质点速度为
4、 又设从A到P的弧长为s 则 从而质点沿曲线由A到B需时间 设集合 那么我们的问题成为 求某个 使得 引进集合 显然若 是最速曲线函数 则 于是函数 在 取得最小值 故得 为了计算 记 那么对 依复合函数求导法 注意第二项 于是导出 由于 的任意性 得到 上式乘以 可化为 这里 代入方程且化简 得到 也就是说 满足方程 解方程 令y cott 那么由方程导出 又因 从而 由x 0时 y 0 且注意 故C2 0 于是令 由x c y H得到 求出根 再确定R 旋轮线 下降所需时间 计算弧微分 从而下降时间 实验任务 1 给定c和H 试用近似方法求出最速降线的曲线 和下降时间 再确定参数方程中的常数R 和 后得到曲线和时间 将两种结果比较 2 在一条直线l的上侧有两个点A B 试找出一条从 A到B的曲线 使得这曲线绕l旋转所得的旋转面 的面积最小 3 伽利略做过著名的单摆实验 长度l的单摆的摆动 周期与振幅无关 试分析情况是否如此 线上任何一点无摩擦地滑到最低点 试求下滑所 4 如果将坐标系的y轴向下 作出旋轮线 设质点从 需时间 5 圆柱面方程为 用曲线连接面上A 0 0 1 B a b c 两点 求使得 AB弧长最短的曲线 短程线
