1、金属塑性成形原理 第三章金属塑性变形的力学基础 第二节应变分析 第二讲点的应变状态分析 体积不变条件 应变状态分析 应变增量 一点应变状态 点的应变状态 设任意点a x y z 的应变分量 设线元ab r r在三个坐标轴上的投影 dx dy dz 方向余弦 长度 a 线应变 变形后 长度 在三个轴上的投影 dx u dy v dz w 略去 r u v w的平方项 略去 r u v w的平方项 两边同除以r2 3 43 式 比较 b 切应变 线元变形后的偏转角 引NM a1b1 在 NMb1中 有 由于 故 于是 如果有刚体转动 纯剪变形引起的位移增量 刚性转动引起的位移增量 去除刚性转动 所
2、以 比较 结论 若一点互相垂直的三个方向上的应变分量已知 则该点任意方向应变可求 一点的应变状态可以用过该点三个互相正交方向上的九个应变分量来表示 与应力状态相似 如果当坐标轴旋转后在新的坐标系中的九个应变分量与原坐标系中的九个应变分量之间的关系也符合学数上张量之定义 即 ij为二阶对称张量 塑性变形时的体积不变条件 设单元体初始边长为dx dy dz 变形前的体积 变形后边长 变形后的体积 展开 略去高阶微量 体积变化率 在弹性变形中 可正可负 在塑性变形中 认为体积不变 为零 体积不变条件为 塑性变形时 三个线应变分量不可能全部同号 绝对值最大的应变分量永远和另外两个应变分量的符号相反 塑
3、性变形时的体积不变条件 对数应变表示的体积不变条件 例 一块长 宽 厚为120mm 36mm 0 5mm的平板 拉伸后在长度方向均匀伸长至144mm 若宽度不变时 求平板的最终尺寸 根据变形条件可求得长 宽 厚方向上的主应变 用对数应变表示 为 由体积不变条件 得 所以 即 所以 平板的最终尺寸为144mm 36mm 0 417mm 塑性变形时的体积不变条件 点的应变状态与应力状态相比较 点的应变张量与应力张量不仅在形式上相似 而且其性质和特性也相似 因此 在研究应变状态理论时 一些公式不需再推导 直接由与应力张量相似性得到 只要将应变张量中的线应变分量和切应变分量分别与应力张量中的正应力分量
4、和切应力分量相对应即可 1 主应变 应变张量不变量 主切应变和最大切应变 主应变简图 1 主应变过变形体内一点存在有三个相互垂直的应变主方向 也称应变主轴 该方向上线元没有切应变 只有线应变 称为主应变 用 1 2 3表示 在主轴坐标系统中 应变张量为 2 应变张量不变量 应变状态特征方程 应变张量不变量 点的应变状态与应力状态相比较 3 主切应变和最大切应变 若 1 2 3 则 点的应变状态与应力状态相比较 4 主应变简图用主应变的个数和符号来表示应变状态的简图称主应变状态图 简称为主应变简图或主应变图 a 压缩类变形 b 剪切类变形 平面变形 c 伸长类变形 特征应变为负应变 另外两个应变
5、为正应变 一个应变为零 其他两个应变大小相等 方向相反 特征应变为正应变 另外两个应变为负正应变 点的应变状态与应力状态相比较 2 八面体应变 八面体线应变 八面体切应变 3 应变偏张量和应变球张量 点的应变状态与应力状态相比较 4 等效应变 取八面体切应变绝对值的 倍所得之参量称为等效应变 也称广义 应变或应变强度 比较 等效应变的特点 1 是一个不变量 2 在塑性变形时 其数值上等于单向均匀拉伸或均匀压缩方向上的线应变 点的应变状态与应力状态相比较 1 位移增量和应变增量 位移增量 物体在变形过程中 在一个极短的时间dt内 其质点产生极小的位移变化量称为位移增量 记为dui 全量应变和应变
6、增量的概念 全量应变 在变形的某过程或过程的某阶段终了时的应变 应变增量 变形过程中某极短阶段的无限小应变 速度分量 或 位移增量分量 应变增量和应变速率张量 应变增量和应变速率张量 2 速度分量和速度场 速度分量 质点在单位时间内的位移称位移速度 位移速度在三个坐标轴上的投影称位移速度分量 简称速度分量 位移速度是坐标的连续函数 又是时间的函数 或 应变增量 代入几何方程 即 一点的应变增量也是二阶对称张量 称应变增量张量 注意 d ij中的d不是微分符号 d ij不表示 ij的微分 应变增量和应变速率张量 3 应变速率张量 应变速率 单位时间内的应变称为应变速率 将 代入 两边同除以时间d
7、t 或 注意 是应变增量d ij对时间dt的微商 不是 ij对时间的导数 应变速率表示变形程度的变化快慢 它不但取决于成形工具的运动速度 而且与变形体的形状尺寸及边界条件有关 所以不能仅仅用工具或质点的运动速度来衡量物体内质点的变形速度 应变增量和应变速率张量 平面应变 概念如果物体内所有质点都只在同一个坐标平面内发生变形 而在该平面的法线方向没有变形 这种变形称为平面变形或平面应变 发生变形的平面称塑性流平面 特点 z为主方向 各分量与z无关 对z的偏导数为零 塑性变形时体积不变 平面应变 几何方程 平面应变 应力特点 1 由于平面变形时 物体内与z轴垂直的平面始终不会倾斜扭曲 所以z平面上
8、没有切应力分量 为应力主方向 为平均应力 是不变量 平面应变 应力特点 平面变形的应力状态是纯切应力状态叠加一球应力状态 平面应变 应力特点 3 平面变形时 由于 z是不变量 而且其它应力分量都与z轴无关 所以应力平衡微分方程和平面应力状态下的应力平衡微分方程是一样的 即 平面应变 平面应力和平面应变状态的共同点 3 各应力分量与z无关 对z的偏导数为零 平衡微分方程相同 工程应用 绝对变形量锻造和轧制时压下 展宽 管材拉拔时减径 减壁 1 特殊工艺 特殊的方向2 不能表示变形程度 工程应用 相对变形量相对压缩率 相对伸长率 相对展宽率 工程应用 比值变形量锻造比 延伸系数 本章小结 对数应变体积不变条件主应变简图平面应变状态与应力的对比小变形几何方程
