1、§4 控制系统过渡过程的质量指标,通常采用的质量指标有两大类。,1、误差性能指标：,系统希望的输出与实际输出之间误差的某个函数的积分，常用的是平方误差积分指标(ISE) ：,设,常用在最优系统的设计当中，求取使J达到最小的控制作用。,2、评价系统的单位阶跃响应曲线（过渡过程）的指标。,4.1以阶跃响应曲线形式表示的质量指标,(1) 峰值时间tp,阶跃响应曲线达到第一峰值所需要的时间。,tp,tp愈小，表明控制系统反应愈灵敏。,(2) 最大偏差A和超调量,被控输出第一个波的峰值与给定值的差，如图中的A，A=y(tp)。,随动控制系统:,超调量,(3-4-1),y()为过渡过程的稳态值。
2、,定值控制系统：,通常采用超调量这个指标：,tp,偏差e输出y设定值R,(3) 衰减比n,在过渡过程曲线上，同方向上相邻两个波峰值之比。如图，n=B：B。,n愈大，过渡过程衰减的越快，反之，n愈小，过渡过程的衰减程度也愈小。,一般操作经验希望过程有两、三个周波结束， 一般常取n=4:110:1。,l 当n1时，过渡过程则为等幅振荡；,(4) 调节时间ts,阶跃响应到达稳态的时间。,工程上常取在被控变量进入新稳态值的土5或土2的误差范围，并不再超出的时间。ts 的大小一般与控制系统中的最大时间常数有关，ts越短，系统响应越快。,(5) 上升时间tr,仅适用随动系统。第一次达到系统新稳态值所需的时
3、间，定义为上升时间。,(6) 余差或稳态误差e(),过渡过程结束时稳态值与给定值之差，是表示控制系统精度的重要质量指标。,对于非振荡的过渡过程曲线：从稳态值的10上升到90所需的时间。,总结：,1、峰值时间和上升时间反映了系统的初始快速。,4、稳态误差反映了系统的调节精度。,3、最大偏差、超调量和衰减比反映了系统的平稳性。,2、调节时间反映了系统的整体快速性。,4.2 二阶欠阻尼系统的质量指标,质量指标和二阶系统的两个特征参数和0值之间存在定量关系。,单位阶跃响应输出为：,（3-4-2）,其中，,01,得,or,（3-4-3）,峰值时间tp 就是式(3-4-2)的一阶导数等于零时所对应的最小时
4、间。,（3-4-2）,1、峰值时间tp,方程(3-4-3)的解为：,（3-4-4）,因为达到峰值的最小时间应m1，即,（3-4-5）,（3-4-3）,2、最大偏差A和超调量%,将最大峰值时间代入式(3-4-2)中，便得到第一个峰值：,因为,因此最大偏差,（3-4-6）,（3-4-2）,（3-4-7）,图 与超调量的关系,超调量仅为衰减系数的函数，与0无关。 越大，超调量越小。,超调量：,超调量：,问题：=0，1时，=？,3、衰减比n,由式(3-4-4)可知，第三个波峰值出现的时间是：,则第三个峰值为：,于是,因而衰减比为：,（3-4-8）,衰减比与衰减系数的关系如图所示。,图3-12 与超调量
5、和衰减比的关系,衰减比n,问题：=0，1时，n=？,4、调节时间ts,图3-13系统过渡过程的包络线,调节时间定义为阶跃响应曲线进入最终稳态值土5或士2范围内所需时间，则：,因此求出：,（3-4-9）,当00.9时，可取ts 的近似值：,（3-4-10）,5、上升时间tr,由方程3-4-2，令y(tr)=1,有,因此，,（3-4-11）,（3-4-2）,=0,6、余差e（）,余差是系统稳态过程的一个质量指标，由终值定理求出。,（3-4-12）,归纳：,（1）峰值时间tp、上升时间tr、调节时间ts与和0有关 （2）超调量、最大偏差A、衰减比n 有关。,为什么要计算控制系统的质量指标？,(1)
6、分析、评价控制系统：,已知G(s)，即特征参数、0，不必求系统的过渡过程，根据公式，就可知系统的质量指标，对控制系统做出评价和分析。,(2) 设计控制系统：,给定系统的质量指标后，根据以上公式，可求出和0，即确定系统参数。,一般的做法是： 由超调量等确定，而由ts等确定0。,例3-4-1,已知某反馈控制系统如图所示。当x(s)为单位阶跃信号时，试决定结构参数K和，使得系统的阶跃响应满足动态性能指标=20%，tp=1s，并计算上升时间tr和调节时间ts。,解：,思路：,1、求闭环传递函数（标准形式） 2、根据，求 3、根据tp，求0。 4、根据、0确定k和。 5、计算其它。,系统的闭环传递函数为
7、：,1、,2、根据给定条件,利用式(3-4-7)和(3-4-5),3、,(弧度180°=弧度),4、根据二阶系统的标准形式：,5、,在上述参数下，计算上升时间tr（式3-4-11）和调节时间ts（式3-4-10）：,解毕。,问题：,1. 对非标准的二阶系统单位阶跃响应的质量指标？ 2. 对标准二阶系统，幅值不是1（非单位）的阶跃信号质量指标？ 3. 对非二阶系统计算单位阶跃响应的质量指标？,问题1,闭环传递函数,对非标准的二阶系统单位阶跃响应的质量指标,转换成标准二阶系统形式：,即：,结论：,任何线性二阶系统均可表示为K与二阶标准系统连乘的形式。,闭环传递函数, ,当K1时，单位阶跃
8、响应输出的质量指标如何计算？,理论上分析，单位阶跃响应输出成比例K放大。,问题2,因此：,l 时间指标 不变,被标准二阶系统的特征参数 唯一决定。,l 反映绝对误差的最大偏差A数值不同，成比例放大。,A,A,A,tr,tp,ts,线性系统两个重要性质：可叠加性和均匀性,l 相对指标和n不变,问题2,对标准二阶系统，幅值不是1（非单位）的阶跃信号的质量指标 ？,结论：,阶跃信号R对输出的作用与增益K相同，使阶跃响应输出成比例R放大。,因此：, 最大偏差A数值不同，亦成比例R放大 。,问题3,已知非二阶系统的阶跃响应y(t)，求过渡过程的质量指标。,解：,利用二阶标准系统单位阶跃响应质量指标的求解
9、原理，求解质量指标。,（第一个满足要求的时间解）,作业A-3-1 A-3-31 A-3-8(1),4.3 控制系统稳态误差分析,l 稳态误差（余差）是反映控制系统精度的重要技术指标,l 一般常用阶跃、斜坡或抛物线输入信号测试稳态误差,l 稳态误差与输入函数的形式有关,l 控制系统的设计任务之一，就是尽量减小稳态误差,1、稳态偏差与系统分类,偏差e(t)的拉氏变换为：,(3-4-14),上式表明，偏差与输入信号有关，还与系统的结构及参数有关。,定义：,给定稳态偏差，记为esx ;,(3-4-15),扰动稳态偏差：记为esf ；,(3-4-16),记G(s)Gc(s)Go(s)，,稳态偏差与系统的
10、开环传递函数G(s)H(s)有关。,在工程上，常根据G(s)H(s)的形式来规定控制系统的“型”。,(3-4-17),K:开环增益,在分母中包含sN 项，它表示开环传递函数中包含N个积分环节（在原点处有N重极点）。,N=0，N=1，N=2，则系统分别称为0型，1型，2型系统。,注意：系统的“型”与系统的阶次不同。,2、给定稳态偏差,（1）输入为单位阶跃函数,此时，,由式(3-4-15)有：,定义稳态位置偏差系数Kp,(3-4-18),于是,(3-4-19),对于不同类型的系统，计算对应的Kp值和稳态偏差：,（2）输入为单位斜坡函数,有,定义稳态速度偏差系数Kv:,(3-4-20),(3-4-2
11、1),0型系统：,x(t),y(t),1型单位反馈系统对斜波输入信号的响应,Kv0，esx；,Kv=K，esx1/K；,Kv，esx0。,1型系统：,2型系统：,（3）输入为单位抛物线（加速度）函数,有,定义稳态加速度偏差系数Ka:,(3-4-22),(3-4-23),2,0型系统：,Ka0，esx；,Ka0，esx；,KaK，esx1/K。,1型系统：,2型系统：,小结：,表2 给定信号输入下的给定稳态误差esx,阶跃输入x(t)=1,斜坡输入x(t)=t,抛物线输入x(t)=1/2t2,Kp=K,Kv=0,Ka=0,Kp=,0,Kv=K,Ka=0,Kp=,0,0,Kv=,Ka=K,Kp 稳
12、态位置偏差系数 Kv 稳态速度偏差系数Ka 稳态加速度偏差系数,对角线上出现的稳态偏差具有有限值，对角线以上出现的稳态偏差为，对角线以下出现的稳态偏差为零。,结论：, 输入信号形式影响系统的稳态误差。 esx与N有关，在系统中增加积分器（提高N），稳态性能可以改善。 开环增益直接影响系统的稳态特性。K越大，稳态误差越小，增大开环增益可以改善闭环系统的稳态特性。 应注意到，增大N值和K值同时也会使控制系统的稳定性和动态性能变差，必须在控制精度与稳定性之间折衷。,3、扰动稳态偏差,当扰动为单位阶跃函数时，稳态偏差为：,若esf=0，称系统为(对于扰动作用)无差系统；否则称为有差系统。,例3-4-2,已知系统如图所示。,（1）设给定信号和扰动信号均为单位阶跃信号，求两个稳态误差。,（2）研究使esf为零时的调节器结构。,解：,（1）开环传递函数：,为1型系统，,因此，,比较,此时系统的开环传递函数为：,（2）若调节器里含有一个积分器,为2型系统,讨论,
