本节研究形如 的含参变量广义积分的连续性 可微性与可积性 以及与之相关的特殊函数 下面主要对无穷限积分讨论 无界函数的情况可类似处理 11 3含参变量的广义积分 含参量广义积分与函数项级数在所研究问题与论证方法上极为相似 学习时应注意比较 定义 设无穷积分 关于不一定收敛的充分条件 命题设含参变量的无穷积分在上点点收敛 若存在常数 不论多大 总存在及 使 则无穷积分在上不一致收敛 命题的极限形式 在不一致收敛 一致收敛的柯西收敛准则 定理1 利用柯西收敛准则证明下列M判别法 例1积分在内一致收敛 解 因为 而积分收敛 内一致收敛 证 存在 又这时 定理2 狄利克雷判别法 定理3 阿贝耳判别法 一致收敛积分具有如下性质 定理4 定理5 3 一 考虑含参数无穷限积分 特点 1 积分区间为无穷 是一个无穷积分 称此类积分为无穷瑕积分 将它分为两项 同收敛 称为函数 记作 Gamma函数性质 2 递推公式 证明 分部积分 1 非负性 注意到 3 特殊值 证明 有此得 1 Beta函数及其连续性 含有两个参数的 含参数积分 收敛 收敛 综合起来 收敛 并确定了一个二元函数 称之为B函数 记作 与证明函数的连续性类似 我们可以证明区域上是连续的 2 B 函数的对称性 证明 例7求 解 例8求 解 积分收敛 例9求 解 例9求 解 原式
