1、 第六章 第五节 一 一个方程所确定的隐函数及其导数 二 方程组所确定的隐函数组及其导数 隐函数的求导方法 本节讨论 1 方程在什么条件下才能确定隐函数 2 在方程能确定隐函数时 研究其连续性 可微性 及求导方法问题 一 一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1 设函数 则方程 单值连续函数y f x 并有连续 隐函数求导公式 具有连续的偏导数 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 满足条件 导数 例1 验证方程 在点 0 0 某邻域 可确定一个单值可导隐函数 解 令 连续 由定理1可知 导的隐函数 则 在x 0的某邻域内方程存在单值可 且 并求 两边对x求导 两边再对x求导 令x
2、0 注意此时 导数的另一求法 利用复合函数求导 定理2 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数z f x y 满足 在点 满足 某一邻域内可唯一确 例2 设 解法2利用复合函数求导 再对x求导 解法1利用公式 例3 设F x y 具有连续偏导数 解法1利用偏导数公式 确定的隐函数 则 已知方程 故 对方程两边求微分 解法2微分法 定理3 的某一邻域内具有连续偏 设函数 则方程组 的单值连续函数 且有偏导数公式 在点 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 满足 导数 二 方程组所确定的隐函数组及其导数 定理4 的某一邻域内具有连续偏 设函数 则方程组 的
3、单值连续函数 且有偏导数公式 在点 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 满足 导数 例4 设 解 方程组两边对x求导 并移项得 求 练习 求 答案 由题设 故有 例5 设函数 在点 u v 的某一 1 证明函数组 x y 的某一邻域内 2 求 解 1 令 对x y的偏导数 在与点 u v 对应的点 邻域内有连续的偏导数 且 唯一确定一组单值 连续且具有 连续偏导数的反函数 式两边对x求导 得 则有 由定理4可知结论1 成立 2 求反函数的偏导数 从方程组 解得 同理 式两边对y求导 可得 例5的应用 计算极坐标变换 的反变换的导数 同样有 所以 由于 内容小结 1 隐函数 组 存在定理 2 隐函数 组 求导方法 方法1 利用复合函数求导法则直接计算 方法2 利用微分形式不变性 方法3 代公式 思考与练习 设 求 提示 解法2 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数 由dy dz的系数即可得 备用题 分别由下列两式确定 又函数 有连续的一阶偏导数 1 设 解 两个隐函数方程两边对x求导 得 2001考研 解得 因此 2 设 是由方程 和 所确定的函数 求 解法1分别在各方程两端对x求导 得 99考研 解法2微分法 对各方程两边分别求微分 化简得 消去 可得 练习题 练习题答案
