1、第二章系统的数学模型 2 1系统的微分方程2 2相似原理2 3传递函数2 4系统的传递函数方框图及其简化2 5反馈控制系统的传递函数 一阶线性微分方程回顾 一阶线性微分方程标准形式 若Q x 0 称为非齐次方程 1 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 称为齐次方程 对应齐次方程通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 解非齐次方程 用常数变易法 则 故原方程的通解 即 即 作变换 两端积分得 在闭合回路中 所有支路上的电压降为0 例 有一电路如图所示 电阻R和电 解 列方程 已知经过电阻R的电压降为Ri 经过L的电压降为 因此有 即 初始条件 由回路电压定律 其中电源 求电流 感L都是常量
2、解方程 由初始条件 得 利用一阶线性方程解的公式可得 因此所求电流函数为 解的意义 拉普拉斯变换 复习 拉普拉斯变换法是一种解线性微分方程的简便运算方法 由于拉普拉斯变换的运用 我们能使许多普通函数 如正弦函数 阻尼正弦函数和指数函数转换成复变数的代数函数 微积分的运算能内在复平面内的代数运算来代替 于是 线性微分方程能转换成复变数的代数方程 微分方程的解可用拉普拉斯变换表 或部分分式展开式求出 拉普拉斯变换法的一个优点是可以用显示系统特性的图解方法来计算 而无需实际去解系统的微分力程 它的另一个优点是当我们解微分方程时 可同时获得解的瞬态分量和稳态分量 拉普拉斯变换的定义 本节介绍拉普拉斯变
3、换的定义 对拉普拉斯变换存在的条件作简略的讨论 并举例说明几种常用函数的拉普拉斯变换的推导 拉普拉斯变换的定义如下 f t 时间t的函数 而且当t 0时 f t 0 s 复变数 L 运算符号 放在某量之前 表示该量用拉普拉斯积分进行变换 s 复变数 两个基本函数 单位脉冲函数 单位阶跃函数 拉普拉斯变换的特性 1 线性性 衰减定理 拉普拉斯变换的特性 2 延时定理 时间尺度定理 拉普拉斯变换的特性 3 延时定理 时间尺度定理 拉普拉斯变换的特性 4 初值定理 终值定理 常用函数的拉普拉斯变换 1 常用函数的拉普拉斯变换 2 拉普拉斯反变换的定义 由复变数表达式推导成为时间表达式的数学运算叫做反
4、变换 拉普拉斯反变换的符号是L 1 其数学表达式为 求解拉普拉斯反变换的部分分式法 如果 则 通常 在控制系统中 用部分分式化简为 用拉普拉斯变换法解线性微分方程 如果 则 通常 在控制系统中 用部分分式化简为 引言 许多动态系统 不管它们是机械的 电气的 热力的 液压的 还是经济学的 生物学的等 都可以用微分方程加以描述 如果对这些微分方程求解 就可以获得动态系统对输入量 或称作用函数 的响应 系统的微分方程 可以通过支配着具体系统的物理学定律 例如机械系统中的牛顿定律 电系统中的克希霍夫定律等获得 数学模型系统动态特性的数学表达式 叫做数学模型 要分析动态系统 首先应推导它的数学模型 我们
5、必须牢牢记住 推导一个合理的数学模型 是整个分析过程中最至要的事情 引言 随动系统 2 1系统的微分方程 建立微分方程的一般方法 2 1系统的微分方程 典型的物理定律 2 1系统的微分方程 应用相似性 2 1系统的微分方程 实例1 2 1系统的微分方程 实例2 2 1系统的微分方程 实例3 2 1系统的微分方程 实例4 2 1系统的微分方程 实例5 直流电动机 2 1系统的微分方程 实例5 增量式 2 1系统的微分方程 非线性微分方程的线性化 2 1系统的微分方程 泰勒级数展开 非线性系统的线性近似方法 函数y f x 在x x0处展开 忽略高次项 2 1系统的微分方程 泰勒级数展开 多个变量
6、非线性系统的线性近似方法 忽略高次项 2 1系统的微分方程 实例6 液压伺服机构 2 1系统的微分方程 讨论 2 2相似原理 相似原理 2 2相似原理 几个相似 2 3传递函数 传递函数为 2 3传递函数 2 3传递函数 传递函数的零点 极点和放大系数 传递函数的极点也称为微分方程的特征根 2 3传递函数 典型函数的传递函数 RC网络 2 3传递函数 典型函数的传递函数 RC网络 2 3传递函数 典型环节 比例环节 2 3传递函数 典型环节 惯性环节 2 3传递函数 典型环节 微分环节 2 3传递函数 典型环节 积分环节 2 3传递函数 典型环节 振荡环节 2 3传递函数 典型环节 振荡环节例
7、 2 3传递函数 典型环节 延时节例 2 3传递函数 典型环节 几点强调 2 4系统的传递函数方框图及其简化 方框图的特点 1 方框图是从实际系统抽象出来的数学模型 不代表实际的物理结构 不明显表示系统的主能源 方框图是从传递函数的基础上得出来的 所以仍是数学模型 不代表物理结构 系统本身有的反映能源有的不反映能源 如有源网络和无源网络等 但从方框图上一般不明显表示出来 能更直观更形象地表示系统中各环节的功能和相互关系 以及信号的流向和每个环节对系统性能的影响 更直观 更形象是针对系统的微分方程而言的 方框图的流向是单向不可逆的 2 4系统的传递函数方框图及其简化 方框图的特点 2 方框图不唯
8、一 由于研究角度不一样 传递函数列写出来就不一样 方框图也就不一样 研究方便 对于一个复杂的系统可以画出它的方框图 通过方框图简化 不难求得系统的输入 输出关系 在此基础上 无论是研究整个系统的性能 还是评价每一个环节的作用都是很方便的 2 4系统的传递函数方框图及其简化 方框图的结构及其建立方法 2 4系统的传递函数方框图及其简化 方框图例子 2 4系统的传递函数方框图及其简化 方框图绘制 2 4系统的传递函数方框图及其简化 方框图等效简化1 2 4系统的传递函数方框图及其简化 方框图等效简化2 2 4系统的传递函数方框图及其简化 方框图等效简化3 2 4系统的传递函数方框图及其简化 方框图
9、等效简化4 2 4系统的传递函数方框图及其简化 方框图等效简化5 2 4系统的传递函数方框图及其简化 方框图等效简化6 2 4系统的传递函数方框图及其简化 方框图等效简化7 2 4系统的传递函数方框图及其简化 方框图等效简化8 2 4系统的传递函数方框图及其简化 方框图等效简化例1 2 4系统的传递函数方框图及其简化 方框图等效简化例1 2 4系统的传递函数方框图及其简化 方框图等效简化例2 2 4系统的传递函数方框图及其简化 方框图等效简化例2 2 4系统的传递函数方框图及其简化 方框图等效简化例2 2 4系统的传递函数方框图及其简化 方框图等效简化例3 2 5反馈控制系统的传递函数 多输入系统1 2 5反馈控制系统的传递函数 多输入系统2 第二章小结 系统的微分方程相似原理传递函数系统的传递函数方框图及其简化反馈控制系统的传递函数
