1、高二数学选修 21 知识点第一章 常用逻辑用语1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若 ，则 ”形式的命题中的 称为命题的条件， 称为命题的结论.pqpq3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“ 若 ，则 ”，它的逆命题为“若 ，则 ”.pqqp4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若
2、原命题为“ 若 ，则 ”，则它的否命题为“若 ，则 ”.pqpq5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“ 若 ，则 ”，则它的否命题为“若 ，则 ”.pqqp6、四种命题的真假性：四种命题的真假性之间的关系：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；1两个命题为互逆命题或互否命题，它 们的真假性没有关系27、若 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件pqqp若 ，则 是 的充要条件（充分必要条件）8、 用联结词“且”把命题 和命题 联结起来，得到一个新命题，
3、记作 p pq当 、 都是真命题时， 是真命题；当 、 两个命题中有一个命题是假命题时， 是假命题pq用联结词“或” 把命题 和命题 联结起来，得到一个新命题， 记作 q原命题 逆命题 否命题 逆否命题真 真 真 真真 假 假 真假 真 真 真假 假 假 假当 、 两个命题中有一个命题是真命题时， 是真命题；当 、 两个命题pq pqpq都是假命题时， 是假命题pq对一个命题 全盘否定，得到一个新命 题， 记作 若 是真命题，则 必是假命题；若 是假命题，则 必是真命题9、短语“ 对所有的”、 “对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“ ”表示含有全称量词的命题称为全称命题全称命题“对 中任
4、意一个 ，有 成立”，记作“ ， ”xpxp短语“存在一个 ”、“至少有一个 ”在逻辑中通常称为存在量词，用“ ”表示含有存在量词的命题称为特称命题特称命题“存在 中的一个 ，使 成立”，记作“ ， ”10、全称命题 ： ， ，它的否定 ： ， 全称命题的否pxppxpx定是特称命题第二章 圆锥曲线与方程11、平面内与两个定点 ， 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹称1F2 12F为椭圆这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距12、椭圆的几何性质：焦点的位置 焦点在 轴上x焦点在 轴上y图形标准方程 210xyab210yxab范围 且y且by顶点 、1,A2,、0b、10,A
5、2,、0b轴长 短轴的长 长轴的长a焦点 、1,Fc2,0、1,Fc2,焦距 221Fcb对称性 关于 轴、 轴、原点 对称xy离心率 201eea准线方程2xc2ayc13、设 是椭圆上任一点，点 到 对应准线的距离 为 ，点 到 对应准线1F1d2F的距离为 ，则 2d12Fed14、平面内与两个定点 ， 的距离之差的绝对值 等于常数（小于 ）的点12 12F的轨迹称为双曲线这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距15、双曲线的几何性质：焦点的位置 焦点在 轴上x焦点在 轴上y图形标准方程 210,xyab210,yxab范围 或 ，yR或 ，xR顶点 、1,A2, 、1,
6、A2,轴长 虚轴的长 实轴的长ba焦点 、1,0Fc2, 、10,Fc2,焦距 221Fc对称性 关于 轴、 轴对称，关于原点中心 对称xy离心率 21beea准线方程2xc2ayc渐近线方程 byaxb16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线17、设 是双曲线上任一点，点 到 对应准线的距离 为 ，点 到 对应准1F1d2F线的距离为 ，则 2d12Fed18、平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹称为抛物线定l点 称为抛物线的焦点，定直线 称为抛物线的准线Fl19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 、 两点的线段 ，称 为AA抛物线的“通径 ”，即 2pA20、抛物
7、线的几何性质：标准方程2yx0p2yx0p2py02xpy0图形顶点 0,对称轴 轴x 轴y焦点 ,02pF,02pF0,2pF0,2pF准线方程 xxyy离心率 1e范围 0x0x0y0y第三章 空间向量与立体几何22、空间向量的概念：在空间，具有大小和方向的量称为空间向量1向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指2的方向表示向量的方向向量 的大小称为向量的模（或长度）， 记作 3A A模（或长度）为 的向量称为零向量；模为 的向量称 为单位向量401与向量 长度相等且方向相反的向量称为 的相反向量，记作 5a aa方向相同且模相等的向量称为相等向量623、空间向量的
8、加法和减法：求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则即：在空间以1同一点 为起点的两个已知向量 、 为邻边作平行四 边形 ，则以 起点abCA的对角线 就是 与 的和， 这种求向量和的方法，称 为向量加法的平行四边Cab形法则求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵2循三角形法则即：在空间任取一点 ，作， ，则 aAbabA24、实数 与空间向量 的乘积 是一个向量，称为向量的数乘运算当时， 与 方向相同；当 时， 与 方向相反；当 时， 为零向00a0a量，记为 的长度是 的长度的 倍a25、设 ， 为实数， ， 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合b律分配律： ；结合
9、律： aa26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量 ， ， 的充要条件a0b/ab是存在实数 ，使 ab28、平行于同一个平面的向量称为共面向量29、向量共面定理：空间一点 位于平面 内的充要条件是存在有序实数对 ，CAx，使 ；或对空间任一定点 ，有 ；或若四yxyCAxyCA点 ， ， ， 共面，则 1xyzCxyzA30、已知两个非零向量 和 ，在空间任取一点 ，作 ， ，则abab称为向量 ， 的夹 角，记作 两个向量夹角的取值范围是：A,a,0,ab31、对于两个
10、非零向量 和 ，若 ，则向量 ， 互相垂直，记作 ab,2abab32、已知两个非零向量 和 ，则 称为 ， 的数量积，记作 即cos, 零向量与任何向量的数量积为 cos,ab 033、 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积abacos,ba34、若 ， 为非零向量， 为单位向量，则有 ；e1s,ee； ， ， ；20ab3ab与 同 向与 反 向 2aa； 4cos,5ab35、向量数乘积的运算律： ； ；1a2bab3abcbc36、若 ， ， 是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量 ，存在有序实ijk p数组 ，使得 ，称 ， ， 为向量 在 ， ， 上的分,xyzpxiy
11、jzkxiyjzkijk量37、空间向量基本定理：若三个向量 ， ， 不共面，则对空间任一向量 ，存在abcp实数组 ，使得 ,xyzpxyz38、若三个向量 ， ， 不共面，则所有空间向量组成的集合是abc这个集合可看作是由向量 ， ， 生成的，,pxyzxR abc称为空间的一个基底， ， ， 称为基向量空间任意三个不共面的向,abcabc量都可以构成空间的一个基底39、设 ， ， 为有公共起点 的三个两两垂直的 单位向量（称它们为单位正1e23交基底），以 ， ， 的公共起点 为原点，分别以 ， ， 的方向为 轴，e 1e23x轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系 则对于空间任意一个向量
12、，一yz xyzp定可以把它平移，使它的起点与原点 重合，得到向量 存在有序 实数组p，使得 把 ， ， 称作向量 在单位正交基底 ，,xyz123pxeyzxyz 1e， 下的坐标，记作 此时，向量 的坐标是点 在空间直角坐标2e3,p系 中的坐标 xyz,xyz40、设 ， ，则 1,a2,b11212,abxyz 221bxyz31,4212axyz若 、 为 非零向量，则 5b 121200abxyz若 ，则 6012/ ,x72211axyz8212 21cos, yzbx， ，91,xyzA2,xz则 22111dyz41、空间中任意一条直线 的位置可以由 上一个定点 以及一个定方
13、向确定点llA是直线 上一点，向量 表示直线 的方向向量，则对于直线 上的任意一点 ，Ala l有 ，这样点 和向量 不仅可以确定直线 的位置， 还可以具体表示出直taAl线 上的任意一点l42、空间中平面 的位置可以由 内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点 ，它们的方向向量分别为 ， 为平面 上任意一点，存在有序实ab数对 ，使得 ，这样点 与向量 ， 就确定了平面 的位置,xyxay43、直线 垂直 ，取直 线 的方向向量 ，则向量 称为平面 的法向量ll44、若空间不重合两条直线 ， 的方向向量分别为 ， ，则abab/ab， abR 045、若直线 的方向向量为 ，平面 的法
14、向量为 ，且 ，则n/， 0n/aa46、若空间不重合的两个平面 ， 的法向量分别为 ， ，则ab/ab， ab 0b47、设异面直线 ， 的夹 角为 ，方向向量 为 ， ，其夹角为 ，则有acosb48、设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ， 与 所成的角为 ， 与llnll的 夹 角为 ，则有 nsincol49、设 ， 是二面角 的两个面 ， 的法向量，则向量 ， 的夹角12l1n2（或其补角）就是二面角的平面角的大小若二面角 的平面角为 ，则l12cosn50、点 与点 之间的距离可以转化为两点对应向量 的模 计算AA51、在直线 上找一点 ，过定点 且垂直于直线 的向量为 ，则
15、定点 到直线lAln的距离为 lcos,ndA52、点 是平面 外一点， 是平面 内的一定点， 为平面 的一个法向量， 则n点 到平面 的距离为 cos,d综合检测题一、选择题：本大题共 12 小题，每小 题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 顶点在原点，且过点 的抛物线的标准方程是(4,)A. B. 24yx24xyC. 或 D. 或2y2y2. 以下四组向量中，互相平行的有（ ）组.(1) , ； (2) , ；(1)a(,3)b(8,46)a(,3)b（3） , ； （4） ,0320A. 一 B. 二 C. 三 D. 四3. 若平面 的法向
16、量 为 ，平面 的法向量为 ，则平面1(,)n2(,01)n与 夹角的余弦是A. B. C. D. 701470704714.“ ”是“ ”的5,2kkZ1sin2A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分又不必要条件5. “直线 l 与平面 内无数条直线都垂直”是“直线 l 与平面 垂直”的（ ）条件A充要 B充分非必要 C必要非充分 D既非充分又非必要6.在正方体 中， 是棱 的中点，则 与 所成角的余弦1BDACE1A1ABDE值为A B C D 51005057. 已知两定点 ， ，曲线上的点 P 到 、 的距离之差的绝对值1(5,)F2(,)1F2是 6，
17、则该曲线的方程为A. B. C. D. 219xy2169xy21536xy21536yx8. 已知直线 l 过点 P(1,0,1)，平行于向量 ，平面 过直线 l 与点(,)aM(1,2,3)，则平面 的法向量不可能是A. (1, 4,2) B. C. D. (0,1,1)(,1)42(,1)429. 命题“若 ，则 ”的逆否命题是abcbA. 若 ，则 B. 若 ，则caacbaC. 若 ，则 D. 若 ，则10 . 已知椭圆 ，若其 长轴在 轴上 .焦距为 ，则 等于 22110xymy4mA. . B. . C. . D. .457811以下有四种说法，其中正确说法的个数为：（1）“m
18、 是实数” 是“m 是有理数”的充分不必要条件；(2) “ ”是“ ”的充要条件；ab2(3) “ ”是“ ”的必要不充分条件；3x30x（4）“ ”是“ ”的必要不充分条件.ABA. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个12。双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别是 ，过 作倾斜角2yabb12F， 1为 的直线交双曲线右支于 点，若 垂直于 轴，则双曲线的离心率为3 M2xA B C D653二、填空题：本大题共 6 小题，每小 题 5 分，共 30 分。13请你任意写出一个全称命题 ；其否命题为 .14已知向量 ， ， 且 ，则(0,1)a(4,10)b|29ab0= 15 已知
19、点 M（1，1，2 ），直 线 AB 过原点 O, 且平行于向量（0， 2，1），则点 M到直线 AB 的距离为 16已知点 P 到点 的距离比它到直线 的距离大 1，则点 P 满足的方(3,0)F2x程为 .17命题“ 至少有一个偶数是素数”的否定为 .18. 已知椭圆 ，直线 AB 过点 P（2， 1），且与 椭圆交于 A、B 两点，2416xy若直线 AB 的斜率是 ，则 的值为 . AB三 、解 答 题 ：本 大 题 共 4 小 题 ，共 60 分 。解 答 应 写 出 文 字 说 明 、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 。19. （本小题满分 15 分）已知椭圆的顶点与双曲线 的焦点重合，它们214yx的离心率之和为 ，若椭圆的焦点在 轴上，求 椭圆的方程.135x
