1、2020 4 27 线性代数课件 线性代数 2020 4 27 线性代数课件 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 2020 4 27 线性代数课件 初等变换的定义 换法变换 倍法变换 消法变换 2020 4 27 线性代数课件 三种初等变换都是可逆的 且其逆变换是同一类型的初等变换 2020 4 27 线性代数课件 反身性 传递性 对称性 矩阵的等价 2020 4 27 线性代数课件 三种初等变换对应着三种初等矩阵 初等矩阵 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 2020 4 27 线性代数课件 换法变换 对调两行 列 得初等矩阵 2020 4 27 线性代数课件 倍法变换 以数 非
2、零 乘某行 列 得初等矩阵 2020 4 27 线性代数课件 消法变换 以数乘某行 列 加到另一行 列 上去 得初等矩阵 2020 4 27 线性代数课件 经过初等行变换 可把矩阵化为行阶梯形矩阵 其特点是 可画出一条阶梯线 线的下方全为0 每个台阶只有一行 台阶数即是非零行的行数 阶梯线的竖线 每段竖线的长度为一行 后面的第一个元素为非零元 也就是非零行的第一个非零元 例如 行阶梯形矩阵 2020 4 27 线性代数课件 经过初等行变换 行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵 其特点是 非零行的第一个非零元为1 且这些非零元所在列的其它元素都为0 例如 行最简形矩阵 2020 4 27 线
3、性代数课件 对行阶梯形矩阵再进行初等列变换 可得到矩阵的标准形 其特点是 左上角是一个单位矩阵 其余元素都为0 例如 矩阵的标准形 2020 4 27 线性代数课件 所有与A等价的矩阵组成的一个集合 称为一个等价类 标准形是这个等价类中形状最简单的矩阵 2020 4 27 线性代数课件 定义 矩阵的秩 定义 2020 4 27 线性代数课件 定理 行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数 矩阵秩的性质及定理 2020 4 27 线性代数课件 2020 4 27 线性代数课件 定理 定理 线性方程组有解判别定理 2020 4 27 线性代数课件 齐次线性方程组 把系数矩阵化成行最简形矩阵 写出通解 非齐
4、次线性方程组 把增广矩阵化成行阶梯形矩阵 根据有解判别定理判断是否有解 若有解 把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵 写出通解 10线性方程组的解法 2020 4 27 线性代数课件 定理 11初等矩阵与初等变换的关系 定理 推论 2020 4 27 线性代数课件 一 求矩阵的秩 二 求解线性方程组 三 求逆矩阵的初等变换法 四 解矩阵方程的初等变换法 典型例题 2020 4 27 线性代数课件 求矩阵的秩有下列基本方法 计算矩阵的各阶子式 从阶数最高的子式开始 找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式 则这个子式的阶数就是矩阵的秩 一 求矩阵的秩 2020 4 27 线性代数课件 用初等变换 即用
5、矩阵的初等行 或列 变换 把所给矩阵化为阶梯形矩阵 由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行 或列 的个数 而初等变换不改变矩阵的秩 所以化得的阶梯形矩阵中非零行 或列 的个数就是原矩阵的秩 第一种方法当矩阵的行数与列数较高时 计算量很大 第二种方法则较为简单实用 2020 4 27 线性代数课件 例 求下列矩阵的秩 解对施行初等行变换化为阶梯形矩阵 2020 4 27 线性代数课件 2020 4 27 线性代数课件 注意在求矩阵的秩时 初等行 列变换可以同时兼用 但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形 2020 4 27 线性代数课件 当方程的个数与未知数的个数不相同时 一般用初等行变换求方程的解 当方
6、程的个数与未知数的个数相同时 求线性方程组的解 一般都有两种方法 初等行变换法和克莱姆法则 二 求解线性方程组 2020 4 27 线性代数课件 例 求非齐次线性方程组的通解 解对方程组的增广矩阵进行初等行变换 使其成为行最简单形 2020 4 27 线性代数课件 2020 4 27 线性代数课件 2020 4 27 线性代数课件 由此可知 而方程组 1 中未知量的个数是 故有一个自由未知量 2020 4 27 线性代数课件 例 当取何值时 下述齐次线性方程组有非零解 并且求出它的通解 解法一系数矩阵的行列式为 2020 4 27 线性代数课件 2020 4 27 线性代数课件 从而得到方程组
7、的通解 2020 4 27 线性代数课件 2020 4 27 线性代数课件 2020 4 27 线性代数课件 解法二用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形 2020 4 27 线性代数课件 2020 4 27 线性代数课件 三 求逆矩阵的初等变换法 2020 4 27 线性代数课件 例 求下述矩阵的逆矩阵 解 2020 4 27 线性代数课件 2020 4 27 线性代数课件 注意用初等行变换求逆矩阵时 必须始终用行变换 其间不能作任何列变换 同样地 用初等列变换求逆矩阵时 必须始终用列变换 其间不能作任何行变换 2020 4 27 线性代数课件 四 解矩阵方程的初等变换法 或者 2020 4 27
8、 线性代数课件 例 解 2020 4 27 线性代数课件 2020 4 27 线性代数课件 第三章测试题 一 填空题 每小题4分 共24分 1 若元线性方程组有解 且其系数矩阵的秩为 则当时 方程组有唯一解 当时 方程组有无穷多解 2 齐次线性方程组 只有零解 则应满足的条件是 2020 4 27 线性代数课件 4 线性方程组 有解的充要条件是 2020 4 27 线性代数课件 二 计算题 第1题每小题8分 共16分 第2题每小题9分 共18分 第3题12分 2020 4 27 线性代数课件 2 求解下列线性方程组 2020 4 27 线性代数课件 有唯一解 无解或有无穷多解 在有无穷多解时 求其通解 2020 4 27 线性代数课件 三 利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵 四 证明题 每小题8分 共16分 每小题7分 共14分 2020 4 27 线性代数课件 测试题答案 2020 4 27 线性代数课件 2020 4 27 线性代数课件
