1、第七章埃尔米特 Hermite 多项式 特殊函数之三 7 1Hermite多项式的定义 1 n阶Hermite方程的解 n阶Hermite方程 用幂级数法求解该方程 设方程的解为 代入方程 整理 得 从而有 由上式知 从而得方程的解为 其中是任意常数 又是方程的两个线性无关的解 故上式是方程的通解 两个级数在实数域内收敛 考察系数递推关系式 为了了解上述多项式的系数形式 改写递推关系式为 2 Hermite多项式 当n是正整数 包括零 时 进一步知 当n是偶数 包括零 时 变成了多项式 仍为无穷级数 当n是奇数时 变成了多项式 仍为无穷级数 则 则 取则 当n为偶数时 有系数 对应多项式 为关
2、于x的偶次方的多项式 当n为奇数时 有系数 对应多项式 为关于x的奇次方的多项式 n次Hermite多项式 统一写法 有 前几次Hermite多项式 7 2Hermite多项式的母函数与递推公式 令 将其展开成变量t的Taylor级数 则有 则是n次Hermite多项式 证明 比较同次幂系数有 即 即 比较同次幂系数有 即 是Hermite方程的解 故是Hermite多项式 定义 称是Hermite多项式的母函数 Hermite多项式的微分形式 Hermite多项式的微分形式 Hermite多项式的递推公式 证明从略 7 3Hermite多项式的正交性及其应用 结论 Hermite多项式在上关于权函数正交 即 结论 设f x 为定义在上的函数 且满足 1 f x 在任何有限区间内都是分段光滑的函数 2 则f x 必能展成如下形式的级数 其中 在不连续处有 在连续处有 解 设 则 注 例2 将在内展成Hermite多项式的级数形式 故
