1、杨东武ydw 1978 机电工程学院 计算方法 1 求方程2x3 4x2 3x 0的根模的上下界 2 用二分法求方程在区间 0 1 内的根 进行一步后根的所在区间为 进行两步后根的所在区间为 3 证明方程 0在区间 0 1 内只有一个根 非线性方程的近似解法 迭代法收敛性例题一种迭代加速方法 埃特金方法牛顿迭代法弦截法 非线性方程的近似解法 迭代法收敛性例题一种迭代加速方法 埃特金方法牛顿迭代法弦截法 若满足 1 定理1 非线性方程的近似解法 迭代法收敛性例题一种迭代加速方法 埃特金方法牛顿迭代法弦截法 埃特金方法 y x x2 y x 埃特金方法 y x 埃特金方法的优点 比用一般迭代法计算
2、收敛速度要快 对某些发散的迭代过程 改用埃特金方法 有时也能求出方程的根 非线性方程的近似解法 迭代法收敛性例题一种迭代加速方法 埃特金方法牛顿迭代法弦截法 牛顿迭代法的理论依据 将f x 在某根附近的x0 初值 处作Taylor展开 取线性部分作为f x 的近似 有 牛顿迭代法的几何意义 x1 x2 牛顿法也称为切线法 当初始点较远时 仍能逐步逼近于方程根 牛顿迭代法的收敛性 x 因此 一般先通过逐步搜索法寻找方程f x 0的有根区间 a b 并且尽量使 a b 比较小 从而保证在区间 a b 上 f x 和f x 都不变号 然后进行讨论 当f x 和f x 在区间 a b 上都不变号 既f
3、 x 在 a b 上保持严格单调和凹向不变 这时f x 的图形只可能有四种情况 X0取何值时牛顿迭代法收敛 定理2 设f x 在区间 a b 上存在二阶导数 且 1 f a f b 0则牛顿迭代法产生的序列 xk 收敛于方程f x 0在 a b 内的唯一根x 有根 根唯一 f x 单调 1 选定初值x0 计算f x0 f x0 计算步骤 2 按公式迭代得新的近似值xk 1 3 对于给定的允许精度 如果则终止迭代 取 否则k k 1 再转步骤 2 计算 牛顿法的优缺点 1 Newton法具有收敛快 稳定性好 精度高等优点 是求解非线性方程的有效方法之一 2 但它每次迭代均需计算函数值与导数值 故计算量较大 而且当导数值提供有困难时 Newton法无法进行 非线性方程的近似解法 迭代法收敛性例题一种迭代加速方法 埃特金方法牛顿迭代法弦截法 将牛顿迭代中的导数 用差商代替 有格式 切线 割线 弦截法的理论依据 弦截法的几何意义 x x1 b 弦截法的优缺点 1 不需要计算导数 2 收敛速度不如牛顿法 本次课结束 谢谢大家
