1、第5章 弯曲内力,§5-1 平面弯曲、梁的计算简图,§5-2 弯曲内力剪力、弯矩,§5-3 剪力、弯矩方程及剪力图和弯矩图,§5-4 Q、M、q之间的关系,§5.1 平面弯曲、梁的计算简图,一、基本概念,2、梁 以弯曲变形为主的杆件,外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线。,(1) 受力特征,(2) 变形特征变形前为直线的轴线,变形后成为曲线。,1、弯曲变形,3、平面弯曲作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的 轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲。,§5.1 平面弯曲、梁的计算简图,A,B,梁变形后的轴
2、线与外力在同一平面内,RA,F1,F2,RB,§5.1 平面弯曲、梁的计算简图,(3） 支座的类型,4、梁的力学模型的简化,(1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。,(2）载荷类型,集中力,集中力偶,分布载荷,可动铰支座,§5.1 平面弯曲、梁的计算简图,固定铰支座,固定端,§5.1 平面弯曲、梁的计算简图,5、梁的分类,（a）简支梁,（b）悬臂梁,（c）外伸梁,（d）静定组合梁,§5.1 平面弯曲、梁的计算简图,（e）静不定梁支座反力不能由静力平衡方程完全确定的梁。,一、内力计算,已知 如图，F，a，l.求 距A端x处截面上内力.,解: 求支座反力,
3、§5-2 梁的弯曲内力,求内力截面法,1、弯矩M 构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。,2、 剪力FS 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。,§5-2 梁的弯曲内力,1、剪力符号,使dx 微段有左端向上而右端向下的相对错动时,横截面m-m 上的剪力为正。或使dx微段有顺时针转动趋势的剪力为正。反之为负。,二、内力的符号规定,§5-2 梁的弯曲内力,当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部受拉 ）时，横截面m-m 上的弯矩为正；反之为负。,2、弯矩符号,解,(1)求梁的支反力 RA 和 RB,例题5.1 图示梁的计算简图。已知 F1、F2，且
4、F2 F1 ，尺寸a、b、c和 l 亦均为已知。试求梁在 E 、 F 点处横截面处的剪力和弯矩。,§5-2 梁的弯曲内力,记 E 截面处的剪力为FSE 和弯矩 ME ，且假设FSE 和弯矩ME 的指向和转向均为正值.,解得,§5-2 梁的弯曲内力,取右段为研究对象,§5-2 梁的弯曲内力,计算 F点横截面处的剪力 FS 和弯矩 MF .,§5-2 梁的弯曲内力,三、计算规律,1、剪力,§5-2 梁的弯曲内力,2、弯矩,不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩,而向下的外力则引起负值的弯矩。,左侧梁段 顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩,
5、逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩,右侧梁段 逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩,顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩,例题5.2 轴的计例算简图如图所示，已知 F1 = F2 = F = 60kN ， a = 230mm,b = 100 mm 和c = 1000 mm.求 C 、D 点处横截面上的剪力和弯矩。,解,(1)求支座反力,§5-2 梁的弯曲内力,(2)计算C 横截面上的剪力FSC和弯矩 MC 。,看左侧,(3)计算D横截面上的剪力FSD 和弯矩 MD .,看左侧,§5-2 梁的弯曲内力,§5.3 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图,FS= FS(x),M= M
6、(x),一、剪力方程和弯矩方程,1、剪力方程,2、弯矩方程,二、剪力图和弯矩图,以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩。这种图线分别称为剪力图和弯矩图。,x,用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程。,例题5.4 如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用, 试作此梁的剪力图和弯矩图。,解 (1) 将坐标原点取在梁的左端，列出梁的剪力方程 和弯矩方程,§5.3 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图,例题5.5 图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载用。试作此梁的的剪力图和弯矩图。,解 (1) 求支反力,(
7、2）列剪力方程和弯矩方程。,§5.3 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图,剪力图为一倾斜直线。,绘出剪力图。,§5.3 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图,弯矩图为一条二次抛物线.由,令,得驻点,弯矩的极值,绘出弯矩图,§5.3 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图,由图可见，此梁在跨中点截面上的弯矩值为最大,但此截面上 FS= 0,两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大,§5.3 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图,解 (1)求梁的支反力,例题5.6 图示的简支梁在C点处受集中荷载 P作用。试作此梁的剪力图和弯矩图。,因为AC段和CB段的内力方程不同， 所以
8、必须分段写剪力方程和弯矩方程。,将坐标原点取在梁的左端,§5.3 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图,AC段,CB段,§5.3 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图,由(1),(3)两式可知,AC,CB 两段梁的剪力图各是一条平行于 x 轴的直线。,由(2),(4)式可知，AC，CB 两段梁的弯矩图各是一条斜直线。,§5.3 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图,2、以集中力、集中力偶作用处、分布荷载开始或结束处，及支 座截面处为分界点将梁分段。分段写出剪力方程和弯矩方程，然后绘出剪力图和弯矩图。,1、取梁的左端点为座标原点，x 轴向右为正;剪力图向上为正；弯矩图向上
9、为正。,5、梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处；梁上的最大弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面，或Fs = 0 的截面处。,结论：,3、梁上集中力作用处左、右两侧横截面上，剪（图）有突变， 其突变值等于集中力的数值。在此处弯矩图则形成一个尖角。,4、梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值（图） 也有突变，其突变值等于集中力偶矩的数值。但在此处剪力图 没有变化。,§5.3 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图,例5.7 外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图。,解：,1、取参考坐标系Cxy。根据平衡条件求支座反力,§5.3 剪力
10、方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图,2、列出梁的剪力方程和弯矩 方程,CA段:,AB段 :,x,§5.3 剪力方程和弯矩方程.剪力图和弯矩图,3、作梁的剪力图和弯矩 图,-qa,(-),(-),(+),(-),E,(+),§5.3 剪力方程和弯矩方程.剪力图和弯矩图,设梁上作用有任意分布荷载 其集度,§5-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系,一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系,q = q (x),规定q(x)向上为正。,将x 轴的坐标原点取在 梁的左端。,假想地用坐标为x和x+dx的两横截面m-m和n-n从梁中取出dx 一段。,m-m截面上内力为 FS(x)
11、,M(x),x,dx,x+dx截面处 则分别为 FS(x)+dFS(x),M(x)+dM(x)。 由于dx很小，略去q(x)沿dx的变化。,写出平衡方程,得到,略去二阶无穷小量即得,§5-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系,公式的几何意义,（1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点 处荷载集度的大小。,（2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点 处剪力的大小。,§5-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系,M(x)图为一向上凸的二次抛物线。,FS(x)图为一向右下方倾斜的直线。,二、q(x)、Fs(x)图、 M（x）图三者间的关系,1、梁上有向下的均布荷载，即 q(x) 0,2、梁
12、上无荷载区段，即 q(x) = 0,剪力图为一条水平直线。,弯矩图为一斜直线。,当 F S(x) 0 时，向右上方倾斜。,当 F S(x) 0 时，向右下方倾斜。,§5-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系,3、梁上最大弯矩 Mmax可能发生在FS(x) = 0 的截面上; 或发生在集中力所在的截面上；或集中力偶作用处；最大剪力可能发生在集中力所在的截面上；或分布载荷发生变化的区段上。,4、在集中力作用处剪力图有突变，其突变值等于集中力的值.弯矩图有转折。,5、在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化。,§5-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关
13、系,无荷载,集中力,F,C,集中力偶,m,C,向下倾斜的直线,上凸的二次抛物线,水平直线,一般斜直线,或,在C处有转折,一段梁上的外力情况,剪力图 的特征,弯矩图 的特征,表 5-1 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征,向下的均布荷载,在C处有突变,在C处有突变,在C处无变化,§5-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系,例5.8 一外伸梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。,解：,1、根据平衡条件求支座反力,§5-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系,2、由微分关系判断各段的 形状。,载荷,CA,DB,AD,斜直线,斜直线,§7-5 Q、M、q之间的关系,A,B,1m,1m,4m,F=3KN,C,D,3、作 -图。,4、作M-图。,CA段：,(-),DA段：,-3KN,4.2KN,-3.8KN,(+),(-),DB段：,-3KN.m,(-),E,x,-2.2KN.m,(-),3.8KN.m,(+),(+),§7-5 Q、M、q之间的关系,
