1、第四章级数 1复数项级数 2幂级数 复数项级数中最简单的级数 3泰勒级数 4洛朗级数 1复数项级数 一 复数项数列1 定义 2 定理 数列收敛的充要条件 3 例1二 复数项级数1 基本概念2 基本定理三 例题例2 返回 一 复数项数列 称为复数项数列 都存在 即 1 定义 设 返回 例1 下列数列是否收敛 如果收敛 求出其极限 1 2 解 1 由 且 2 因为 显然 返回 1 复数项级数的基本概念 1 定义1 设 是一个复数项数列 则 称为复数项级数 此复数项级数收敛 否则称发散 3 定义3 若 2 定义2 下一页 二 复数项级数 绝对收敛 收敛 则称 条件收敛 返回 上一页 注意 此处的绝对
2、值符号表示 模 2 复数项级数的基本定理 2 定理2 下一页 通项收敛于0 4 定理4 若绝对收敛 则收敛 反之不一定成立 Proof 返回 上一页 绝对收敛与收敛的关系 例2 判断下列级数的敛散性 1 2 3 解 1 原级数 由比值判别法 所以原级数绝对收敛 收敛 2 下一页 3 发散 因为 所以 原级数条件收敛 解 收敛 返回 上一页 2幂级数 复变函数项级数中最简单的级数 一 幂级数的概念1 定义2 收敛性3 定理1 Abel定理 二 收敛圆和收敛半径1 定义2 幂级数的三种收敛情况3 收敛半径的求法4 例1三 幂级数的运算 1 加减法 乘法2 逐项求导 逐项积分3 例题 例2 例3 例
3、4 返回 1 定义 的级数称为复数项幂级数 是复变量 形如 令 则 故 只须讨论形如的幂级数 返回 一 幂级数的概念 2 幂级数在一点的收敛性 收敛 2 收敛域 收敛点的全体 和函数 在收敛域中幂级数收敛于一个函数 该函数称为和函数 返回 故 0必为的收敛点 特别 3 定理 Abel定理 如果级数 那么对满足 那么对满足 如果级数 返回 1 收敛圆和收敛半径的定义 由Abel定理必存在一个正实数R 时绝对收敛 则称 1 R为收敛半径 当 返回 二 收敛域与收敛半径 2 幂级数的三种收敛情况 3 在复平面上有时收敛 有时发散 则R为一个 2 在整个复平面上处处收敛 确定的正实数 返回 3 幂级数
4、收敛半径的求法 1比值法 常用 2根值法 返回 例1 求下列幂级数的收敛半径及收敛圆 1 2 3 收敛圆域为点圆 收敛圆域为整个复平面 收敛圆为 1 解 2 3 下一页 4 5 收敛圆域 收敛圆域 解 4 返回 上一页 作业 加减法 乘法 设 收敛半径为 收敛半径为 则 在内有 返回 三 幂级数的运算 幂级数的和函数在收敛圆域内是解析的 且在收敛圆域内有如下运算 1 逐项求导 2 逐项积分 返回 例2 讨论等比 几何 级数的收敛性 并在收敛圆内求和函数 解 返回 部分和为 例3 例3 将函数展开成的幂级数 收敛圆域为 解 返回 例4 例4 将函数展开成的幂级数 解 收敛圆域为 返回 作业 P1421 1 3 5 3 2 3 6 1 3 4 11 1 3 6 写出前三项 返回
