1、 1函数逼近的基本概念 第3章函数逼近与快速傅里叶变换 一 函数逼近与函数空间 函数类A通常是连续函数 函数类B通常是多项式 有理函数或分段低次多项式 二 范数与赋范线性空间 三 内积与内积空间 2正交多项式 一 正交函数族与正交多项式 二 勒让德多项式 三 切比雪夫多项式 四 其他常用正交多项式 3最佳平方逼近 一 函数的最佳平方逼近 二 用正交函数族求最佳平方逼近 4曲线拟合的最小二乘法 一 拟合问题的提出及其最小二乘法 x 例9已知实测数据表 试用最小二乘法求多项式曲线与此数据组拟合 例10已知实测数据表 试求它的最小二乘拟合 二 用正交多项式作最小二乘拟合 用MATLAB作多项式最小二
2、乘拟合 1 作多项式f x amxm a1x a0拟合 可利用已有程序 a polyfit x y m 2 多项式在x处的值y可用以下命令计算 y polyval a x 例 对下面一组数据作二次多项式拟合 即要求出二次多项式 中的使得 最小 1 输入以下命令 x 0 1 0 1 1 y 1 9783 286 167 087 347 669 569 489 3011 2 A polyfit x y 2 z polyval A x plot x y k x z r 作出数据点和拟合曲线的图形 2 计算结果 8 080317 94880 5429 5有理逼近 3 5 1有理逼近与连分式 有理函数逼
3、近是指用形如 的函数逼近 与前面讨论一样 如果最小就可得到最佳有理一致逼近 5 1 如果最小则可得到最佳有理平方逼近函数 本节主要讨论利用函数的泰勒展开获得有理逼近函数的方法 对函数用泰勒展开得 5 2 取部分和 另一方面若对 5 2 式用辗转相除可得到的 一种连分式展开 5 3 5 4 5 3 右端为的无穷连分式的前5项 最后式子 若取 5 3 的前2 4 6 8项 则可分别得到的以下有理逼近 是它的紧凑形式 若用同样多项的泰勒展开部分和逼近 并计算处的值及 计算结果见表3 3 的准确值为 从表3 3可以看出 但它们的计算量是相当的 这说明用有理逼近比多项式逼近好得多 由此看出的精度比高出近
4、10万倍 例9 用辗转相除法将它化为连分式并写成紧凑形式 解 给出有理函数 用辗转相除可逐步得到 本例中用连分式计算的值只需3次除法 1次乘法和7次加法 若直接用多项式计算的秦九韶算法则需6次乘法和1次除法及7次加法 可见将化成连分式可节省计算乘除法次数 对一般的有理函数 5 1 可转化为一个连分式 它的乘除法运算只需次 而直接用有理函数 5 1 计算乘除法次数为次 3 5 2帕德逼近 利用函数的泰勒展开可以得到它的有理逼近 设在的泰勒展开为 5 5 它的部分和记作 5 6 定义8 设 其中无公因式 且满足条件 5 8 则称为函数在处的阶帕德逼近 记作 简称的帕德逼近 如果有理函数 5 7 根
5、据定义 若令 则满足条件 5 8 等价于 即 由于应用莱布尼兹求导公式得 这里是由 5 6 得到的 上式两端除 并由可得 5 9 及 5 10 注意当时 故 5 10 可写成 5 11 其中时 若记 5 12 则方程组 5 11 的矩阵形式为 定理11 5 7 的有理函数是的阶帕德逼近的 充分必要条件是多项式的系数 及满足方程组 5 9 及 5 11 设 则形如 根据定理11 求的帕德逼近时 首先要由 5 11 解出的系数 的系数 的各阶帕德逼近可列成 再由 5 9 直接算出 一张表 称为帕德表 见表3 4 例10 求的帕德逼近及 解 由的泰勒展开 得 当时 由 5 11 得 求得 再由 5
6、9 得 于是得 当时 由 5 11 得 代入 5 9 得 解得 于是得 可以看到这里得到的及与的前面 为了求帕德逼近的误差估计 由 5 9 及 5 11 求得的系数及 直接代入则得 将除上式两端 即得 连分式展开得到的有理逼近 5 4 结果一样 5 13 其中 当时可得误差近似表达式 6三角多项式逼近与快速傅立叶变换 当是周期函数时 显然用三角多项式逼近比用代数多项式更合适 本节主要讨论用三角多项式做最小平方逼近及快速傅里叶变换 简称FFT算法 1 最佳平方三角逼近与三角插值 设是以 为周期的平方可积函数 用三角多项式 6 1 做最佳平方逼近函数 由于三角函数族 在上是正交函数族 于是在上的最佳平方三角逼近多项式的系数是 最佳平方三角逼近 称为傅里叶系数 函数按傅里叶系数展开得到的级数 6 3 就称为傅里叶级数 6 2 因为右边不依赖于 左边单调有界 所以级数 收敛 并有 最小二乘三角逼近与三角插值 离散傅立叶变换 2 快速傅立叶变换 FFT 作业P117 22
