1、第6讲 对偶问题的基本概念 浙江工业大学经贸管理学院曹柬 一 对偶问题的提出 例1 习题3 1 运筹学第6讲 对偶问题的基本概念 某工厂在计划期内要安排生产甲 乙两种产品 已知生产单位产品所需的设备台时及A B两种原材料的消耗和各种资源的限制量 如下表所示 该工厂每生产一件甲产品可获利2元 每生产一件乙产品可获利3元 问应如何安排计划使该工厂获利最多 例2 习题3 2 对于例1 假设该工厂的决策者决定不生产甲 乙两种产品 而是将所有资源外售 你作为一个收购者 该如何决策来购买这些资源 运筹学第6讲 对偶问题的基本概念 设有LP问题 P 的数学模型为 则称 D 是 P 的对偶问题 P 是原问题
2、式中 运筹学第6讲 对偶问题的基本概念 P 和 D 具有对称性 即互为对偶上述两种形式称为LP问题的对称形式 请不要混淆对称形式和标准形式 D min Yb 运筹学第6讲 对偶问题的基本概念 例3 写出下述LP问题的对偶问题 运筹学第6讲 对偶问题的基本概念 二 非对称形式的原 对偶问题关系 例4 P50 例2 求下述LP问题的对偶问题 运筹学第6讲 对偶问题的基本概念 可根据以下规则求LP问题的对偶问题 分3步骤 P52 若 P 为max型 则 D 为min型 反之亦然 同时 P bT D C P AT D A P CT D b D 中约束条件取向规则 P 的第j个变量xj对应于 D 的第j
3、个约束式若 P 为max型 且xj 0 则 D 的第j个约束式取向为 若 P 为min型 且xj 0 则 D 的第j个约束式取向为 若 P 中的xj无约束 则 D 中的第j个约束式取向为 其余情况与对称形式相同 D 中变量取值规则 P 的第i个约束式对应于 D 的第i个变量yi若 P 为max型 且第i个约束式取向为 则yi 0若 P 为min型 且第i个约束式取向为 则yi 0若 P 中的第i个约束式为等式 则yi无约束其余情况与对称形式相同 例5 求下述LP问题的对偶问题 运筹学第6讲 对偶问题的基本概念 P 中约束式为对称形式 则 D 中相应变量为对称形式 P 中约束式为非对称形式 则
4、D 中相应变量为非对称形式 P 中变量为对称形式 则 D 中相应约束式为对称形式 P 中变量为非对称形式 则 D 中相应约束式为非对称形式 求与非对称形式LP问题的对偶问题 取与对称形式相反的情况即可 运筹学第6讲 对偶问题的基本概念 例6 求下述LP问题的对偶问题 运筹学第6讲 对偶问题的基本概念 习题3 3 1 3 maxZ 2x1 3x2 5x3 x4s t 运筹学第6讲 对偶问题的基本概念 定理1 对称性定理 对偶问题的对偶是原问题 运筹学第6讲 对偶问题的基本概念 三 对偶问题的基本性质 1 定理2 弱对偶定理 设和分别是 P 和 D 的可行解 则必有 推论1 若和分别是 P 和 D
5、 的可行解 则是 D 的min 的下界 是 P 的maxZ的上界 推论2 在一对 P 和 D 中 若其中一个问题可行 但目标函数无界 则另一个问题无可行解 推论3 在一对 P 和 D 中 若一个问题有可行解 而另一个问题无可行解 则有可行解的问题无界 运筹学第6讲 对偶问题的基本概念 例1 试证如下LP问题无界 运筹学第6讲 对偶问题的基本概念 定理3 最优性判别定理 若X 和Y 分别是 P 和 D 的可行解 且CX Y b 则X 和Y 分别是 P 和 D 的最优解 定理4 强对偶定理 若 P 和 D 都有可行解 则它们都有最优解 且Z 推论4 若 P 和 D 中的任意一个有最优解 则另一个也必有最优解 且Z 运筹学第6讲 对偶问题的基本概念 综上所述 P 和 D 的解的关系存在下列三种情况 都有最优解 且CX Y b一个问题有无界解 另一个问题无可行解两个都无可行解 例 习题3 4 运筹学第6讲 对偶问题的基本概念 P74 2 2如果线性规划的原问题存在可行解 则对偶问题也一定存在可行解如果线性规划的对偶问题无可行解 则原问题也一定无可行解在互为对偶的一对原问题与对偶问题中 不管原问题是求极大或是极小 原问题可行解的目标函数值一定不超过其对偶问题的目标函数值任何线性规划问题具有惟一的对偶问题 运筹学第6讲 对偶问题的基本概念 作业 2 1 1 2 2 5 2 6 3 5
