1、第三讲质点的运动 如图所示 从A点以v0的初速度抛出一个小球 在离A点水平距离为s处有一堵高度为h的墙BC 要求小球能越过B点 问小球以怎样的角度抛出 才能使v0最小 解1 先用最一般的坐标取法 以A点作为原点 水平方向 AC方向 作为x轴 竖直方向作为y轴 小球的运动方程为 可解得 这是一个有关 和v0的函数关系 需要求 为多少时v0有极小值 将 式改写成 即 这是一个有关tan 的一元二次方程 其判别式为 式的解为 当v0太小时D 0 式无解 说明在此情况下小球不可能越过BC墙 当D O时 式有解 此时的v0便是小球能越过墙顶的最小的v0 取 作为未知数 可以解得 舍去不合理解 此时 解2
2、 换一种坐标取法 以AB方向作为x轴 这样一取 小球在x y方向上作的都是匀变速运动了 v0和g都要正交分解到x y方向上去 小球的运动方程为 当小球越过墙顶时 y方向的位移为零 由 式可得 代入 式 当 最大 即 时 v0有极小值 解3 再换一种观念 将斜抛运动看成是v0方向的匀速直线运动和另一个自由落体运动的合运动 如图所示 在位移三角形ADB中用正弦定理 由 式中第一个等式可得 将 式代入 式中第二个等式 当 COS 2 有极大值1时 即2 时v0有极小值 因为 所以 很明显 这种解法最简单明了 在仰角 6的雪坡上举行跳台滑雪比赛 运动员从高处滑下 能在O点借助于器材以与水平方向成 角的
3、速度v0跳起 最后落在坡上A点 假如v0的大小不变 那么以怎样的 角起跳能使OA最远 最远距离为多少 解法1 以O点为原点 建立水平和竖直方向的x y坐标 从此方程组中消去t和y 可得 式中v0 g等都是定值 不难看出当 时x有极大值 此时OA有极大值 解法2 将运动员的运动看成与水平方向成 角的匀速直线运动和一个自由落体运动的合运动 在 OAB中用正弦定理 用第二个等式消去t 同样可以得到 求极大值以后的结果是一样的 半径为R的自行车轮在平地上纯滚 轴心速度为vC 在轮缘上有一小水珠抛出 抛出时小水珠和轮缘的速度相同 求 为多大时 它水平飞行的距离最大 解 设小珠在A点抛出 相对轮的速度 设
4、落地时间为t 水平飞行距离 求t 时x有极大值 如图所示的系统中A1 A2两物体均有向下的速度vA 吊住B物体的两根绳与竖直方向的夹角都是 试求B物体上升的速度vB 如图所示 合页构件由长杆 中杆 短杆各两根用铰链构成 边长比为2 1 若顶点A以匀加速度a水平向右运动 则节点B的加速度为多大 拓展 如果在OC垂直于BC时 vA v0 OC R 求 此时C点的加速度aC 解1 因为总有 对t求导 即有 拓展解 由关联性可知 C点的a可分成an和aT 其中 且有 x轴投影 可以求出aT 既可以求出a 如图所示 杆AB搁置在半径为R的半圆柱上 A端沿水平面以等速v作直线运动 杆与水平面夹角用 表示
5、图示瞬时 杆与半圆柱相切于C 点 此时杆上C点的速度大小是vc 圆柱上面与杆相交的一点C 的速度大小v c 解 杆上C点的速度沿杆 接触点绕O点的 和A点绕C点的 相等 即 设长为L的杆OA以角速度 绕O点转动 A端连一绕过定滑轮B的绳子 绳子另一端挂重物M 如图所示 已知 AOB和 ABO分别为 和 求图示时刻M的速度是多大 拓展 M的加速度多大 可否将an分解 可求导 如图所示 有两条位于同一竖直平面内的水平轨道 相距为h 轨道上有两个物体A和B 它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接 物体A在下面的轨道上以匀速率v运动 在轨道间的绳子与轨道成30 角的瞬间 绳子BO段的中点处有一
6、与绳相对静止的小水滴P与绳子分离 设绳子长BO远大于滑轮直径 求 1 小水滴P脱离绳子时速度的大小和方向 2 小水滴P离开绳子落到下面轨道所需要的时间 1 因为绳不能伸缩 所以B沿绳子运动的分速度 因而B垂直于绳子的分速度 为绳和轨道的夹角 绳上小水滴的速度 即P点的速度 也可以分解成类似的两个分速度 式中的 为P点的速度和绳的夹角 注意 P点的速度并不是水平的 设绳转动的角速度为 则有 由此可知 vP和水平方向的夹角为30 水滴离开绳子的速度大小为 2 水滴P离开绳后做的是斜下抛运动 它的竖直初速度 因此有 可解出t 取t的正值解 已知 如图所示装置 v1 求v2 两两相距均为a的三质点A B C从t 0时刻并始分别以相同的匀速率v运动 运动过程中A的运动速度方向始终指着当时B所在的位置 B始终指着当时C所在的位置 C则始终指着当时A所在的位置 试问 三质点何时一起相遇 解1 求每一条边的缩短率 可以学习两种近似方法 解2 有效速度 三者最后会合在O点 因此靠近O的速度是有效的 思考 如果是四边形或正n边形呢
