1、曲面积分习题课 则 如果曲面方程为以下三种 则 第一类曲面积分 1 基本计算公式 则 计算的关键是看所给曲面方程的形式 若 则有 若 则有 前正后负 右正左负 若 注意 对坐标的曲面积分 必须注意曲面所取的侧 上正下负 则有 第二类曲面积分 两类关系 向量点积法 两类关系公式的另一种表达形式 向量点积法 向量点积法 一 高斯公式 定理 设向量场 P Q R 在域G内有一阶连续 偏导数 则 向量场通过有向曲面 的通量为 2 通量与散度 G内任意点处的散度为 斯托克斯 stokes 公式 斯托克斯公式 斯托克斯 Stokes 公式 2 旋度 2 基本技巧 1 利用对称性及重心公式简化计算 2 利用
2、高斯公式 注意公式使用条件 添加辅助面的技巧 辅助面一般取平行坐标面的平面 3 两类曲面积分的转化 解 由于关于变量x y轮换对称性 例1 解 由点到平面的距离公式 得 例2 得 解 利用奇偶对称性 例3 例4 解 利用向量点积法 法1 用高斯公式 补面 取下面 取上面 则构成封闭曲面 且取外侧 计算 由高斯公式 法2 注意 若用柱面坐标计算三重积分 要分区域考虑 例5 解 利用两类曲面积分之间的关系 上侧 其中 的上侧 且取下侧 提示 以半球底面 原式 记半球域为 高斯公式有 计算 为辅助面 利用 为半球面 例6 例7 证明 设 常向量 则 单位外法向向量 试证 例8 计算曲面积分 其中 解
3、 引申 1 本题 改为椭球面 时 应如何计算 应如何计算 2 若本题 改为不经过原点的任意闭曲面的外侧 计算 其中 引申 1 然后用高斯公式 引申 2 分两种情形 情形1 不包围原点的任意闭曲面 情形2 包围原点的任意闭曲面 问题转化为与引申1类似的情形 例9 设 是曲面 解 取足够小的正数 作曲面 取下侧 使其包在 内 为xoy平面上夹于 之间的部分 且取下侧 取上侧 计算 则 第二项添加辅助面 再用高斯公式计算 得 例10 计算曲面积分 中 是球面 解 用重心公式 曲面关于xoz面对称 例11 设L是平面 与柱面 的交线 从z轴正向看去 L为逆时针方向 计算 解 记 为平面 上L所围部分的上侧 D为 在xoy面上的投影 由斯托克斯公式 选择题
