1、 吴扬扬 1 主要内容 半群同态定义性质群定义判定定理 吴扬扬 2 8 1半群和独异点3 半群同态 2 其中 fx S S y S fx y x y 性质定理8 1 2半群与同态 例3 半群 其中 S a b c 定义为 定义到同态映射h S SS x S h x fx 即h a fa h b fb h c fc 其中 fa S S fa a a a a fa b a b b fa c a c c fb S S fb a b a b fb b b b c fb c b c a fc S S fc a c a c fc b c b a fc c c c b 吴扬扬 3 8 1半群和独异点3 半群
2、同态 3 定理8 1 3任意独异点都同构于某一变换独异点 即必与的某个子独异点同构 pp 159证明 其中 fa S S b S fa b a b a b S c S h a b h a oh b fa b c a b c 且faofb c fa fb c fa b c a b c a b c fa b c faofb c fa b faofb 故h是从到的半群同态 定理8 1 2 半群与同态 证明 定义h S SS a S h a fa 4 8 2群的定义及性质1 群的定义 群 设为独异点 如果 a G a都可逆 则称为群 结合律 有单位元 每个元素皆可逆平凡群 阿贝尔群 可交换群 pp 1
3、60 例1 下列代数系统能否成为群 为什么 R 0o 60o 120o 180o 240o 300o a b R a b表示将平面图绕形心连续旋转角度a和b 旋转360回到原来状态 0o60o120o180o240o300o 0o60o120o180o240o300o 0o60o120o180o240o300o60o120o180o240o300o0o120o180o240o300o0o60o 180o240o300o0o60o120o240o300o0o60o120o180o300o0o60o120o180o240o 吴扬扬 5 8 2群的定义及性质2 群的判定 1 定理8 2 1设为半群
4、若满足下列条件 则为群 1 有左单位元el 即 el G a G el a a 2 每个元素都有左逆元 既 a G al G al a el证明 a G al G 必有a G 使a al el a el a el al a a al a el a a el就是单位元 2 每个元素都有逆元 a al el a al a al a al a el al el al是a的逆元 因此 是群 每个元素都有左逆元 1 有单位元 el a el el a el a al a al a a al a al a a al 吴扬扬 6 8 2群的定义及性质2 群的判定 2 定理8 2 2设为半群 若 a b G
5、方程a x b和y a b都有解 则为群 证明 1 有左单位元取a G 则y a a的解为左单位元 记作 el b G a x b有解 设c为其中的一个解 el b el a c el a c a c b 因此 el是左单位元 2 每个元素都有左逆元 a G y a el的解即为a的左逆元 由定理8 2 1可得 为群 则a c b 吴扬扬 7 8 2群的定义及性质2 群的判定 3 定理8 2 3设为有限半群 若G满足消去律 则为群 证明 设G a1 a2 an a b G 令G a a1 a a2 a an 则G G G满足消去律 i j 1 n 若ai aj 则a ai a aj G G 因此 G G b G 即存在k 1 n 使得a ak b即ak是方程a x b的解同理可证 a b G 方程y a b在G中也有解 由定理8 2 2可得 为群 吴扬扬 8 作业 P1594 6 P1632
