1、一 平面向量复习 1 向量 既有大小又有方向的量 2 向量的模 向量的大小 3 几个特殊的向量 3 相等的向量 大小相等 方向相同的向量 4 负向量 大小相等 方向相反的向量 5 平行向量 方向相同或相反的向量 共线向量 1 零向量 模为0的向量 方向是任意的 注意与0的区别 2 单位向量 模为1的向量 方向未确定 4 向量的几种形式 2 代数形式 5 向量的运算 注 两个非零向量 1 法则 首尾相接 2 法则 共起点 法则 共起点 方向指向被减向量 6 平面向量的分解定理 如果 是平面内两个不平行向量 那么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对实数t1 t2使 O C M N 对向量a进行分
2、解 空间向量 我们把向量推广到空间 并把它们叫做空间向量 空间向量与平面上的向量有相应的概念 运算及其运算律具有相同的意义 例1 六面体ABCD A1B1C1D1各面都是平行四边 E F分别是棱BC C1D1的中点 设 A1 A F E D C B B1 C1 D1 例2 在长方体ABCD A1B1C1D1中 G是 ACD1的重心 求证 D G B1三点在同一直线上 A B C D A1 B1 C1 D1 G 例2 已知向量 向量与的夹角都为 且 计算 例4 在正四面体ABCD中 用向量的方法证明 AB CD A B C D 一 空间直角坐标系 1 空间直角坐标系的建立 在空间取定一点O 从O
3、出发引三条两两垂直的直线 选定某个长度作为单位长度 原点 坐标轴 O x y z 1 1 1 右手系 空间直角坐标系共有八个卦限 2 空间直角坐标系的划分 P1 P2 P3 y x z 3 空间中点的坐标 对于空间任意一点P 要求它的坐标 方法一 过P点分别做三个平面垂直于x y z轴 平面与三个坐标轴的交点分别为P1 P2 P3 在其相应轴上的坐标依次为x y z 那么 x y z 就叫做点P的空间直角坐标 简称为坐标 记作P x y z 三个数值叫做P点的x坐标 y坐标 z坐标 P点坐标为 x y z P0 x y z 方法二 过P点作xy面的垂线 垂足为P0点 点P0在坐标系xOy中的坐
4、标x y依次是P点的x坐标 y坐标 再过P点作z轴的垂线 垂足P1在z轴上的坐标z就是P点的z坐标 P点坐标为 x y z P1 注意 在建立了空间直角坐标系后 空间中任何一点P就与有序实数组 x y z 建立了一一对应关系 x y z 就叫做P的空间直角坐标 简称为坐标 记作P x y z 三个数值x y z分别叫做P点的x坐标 y坐标 z坐标 小提示 坐标轴上的点至少有两个坐标等于0 坐标面上的点至少有一个坐标等于0 0 0 0 x 0 0 0 y 0 0 0 z x y 0 0 y z x 0 z 4 特殊位置的点的坐标 5 点P在各卦限中x y z坐标的符号 卦限图 卦限图 平面直角坐
5、标 y A B C D E F 1 在空间直角坐标系中描出下列各点 并说明这些点的位置A 0 1 1 B 0 0 2 C 0 2 0 D 1 0 3 E 2 2 0 F 1 0 0 A1 1 4 0 A 1 4 1 2 2 0 B1 B 2 2 1 1 3 0 C1 1 3 3 C 2 在空间直角坐标系中作出下列各点 1 A 1 4 1 2 B 2 2 1 3 C 1 3 3 小结 空间直角坐标系 1 空间直角坐标系的建立 三步 2 空间直角坐标系的划分 八个卦限 3 空间中点的坐标 一一对应 4 特殊位置的点的坐标 表格 5 点P在各卦限中x y z坐标的符号 表格 例 设点P的坐标为 x
6、y z 求下列点的坐标 1 点P关于xOy平面的对称点 2 点P关于yOz平面的对称点 3 点P关于xOz平面的对称点 4 点P关于x轴的对称点 5 点P关于y轴的对称点 6 点P关于z轴的对称点 7 点P关于坐标原点O的对称点 例 给下列几何体建立恰当的坐标系 再写出相应的顶点坐标 空间向量的坐标表示 2 空间向量的坐标运算 1 空间向量的坐标 则 终点的坐标减去起点的坐标 3 定比分点公式 当 1时 分点P为线段的中点 即有 的重心坐标公式 定比分点的坐标形式 4 向量的数量积 夹角公式 向量的平行和垂直 1 若 如果为平行向量 则 2 已知点A 1 2 1 B 1 3 4 D 1 1 1 若 则的值是 3 已知 1 若向量垂直于Oz轴 试求其坐标 2 是否存在向量 使其与共线 不存在 Ex 如图所示 在四棱锥S ABCD中 底面ABCD是平行四边形 1 写出点A B C D S的坐标 2 用坐标表示 Ex 已知点 1 求与的夹角 2 求以与为邻边的平行四边形的第四个顶点的坐标及面积 3 若 且分别与垂直 求的坐标
