第七节方向导数与梯度 一 方向导数二 梯度 一 方向导数 1 方向导数的定义 定义 注 10对于三元函数 2 方向导数存在的充分条件及计算法 对于三元函数 注 故 证 两边同除以 得到 由于函数在点可微 所以 解 解 令 则 的方向余弦为 故 二 梯度 1 梯度的定义 注 2 梯度与方向导数的关系 1 注 10梯度的方向是函数在该点处的方向导数取最大值的方向 也即函数增长最快的方向 梯度的反方向是函数在该点处的方向导数取最小值的方向 也即函数减少最快的方向 20梯度方向的方向导数等于梯度的模 30与梯度垂直方向的方向导数等于零 解 1 2 令 则 3 例4设函数 1 求在点M 1 1 1 处沿曲线 在该点切线方向的方向导数 2 求在M 1 1 1 处的梯度与 1 中切线方向的夹角 解 1 例5 P98 例9 47 三 向量场简介 某一物理量在空间或平面的分布就称为场 例如温度在空间的分布就是温度场 电磁强度在空间的分布就是磁场 如果场中对应的物理量是数量 或向量 那么这种场就称为数量场 或向量场 例如温度场及密度场就是数量场 力场 磁场就是向量场 在数学中通常用函数来表示场 假定有关的物理量不随时间变化 而仅与场中点的位置有关 那么 在三维空间中 数量场就可以用数量函数表示 向量场就可以用向量函数 表示 思考题 思考题解答 此极限不存在
