1、信息光学复习 第一部分 基本概念 二维傅里叶变换 函数f x y 在整个x y平面上绝对可积且满足狄氏条件 有有限个间断点和极值点 没有无穷大间断点 定义函数 f x y 原函数 F fx fy 是f x y 的 频谱函数 F fx fy 一般是复函数 F fx fy A fx fy ejf fx fy 线性系统 线性系统的定义 设 g1 x2 y2 f1 x y g2 x2 y2 f2 x y 且对于任意复常数a1和a2 有 若系统对几个激励的线性组合的整体响应 等于单个激励所产生的响应的线性组合 则该系统称为线性系统 则称该系统 为线性系统 a1f1 x y a2f2 x y a1g1 x
2、2 y2 a2g2 x2 y2 系统对输入的脉冲函数产生的输出称为脉冲响应 若输入脉冲发生位移时 线性系统的响应函数形式不变 仅造成响应函数相应的位移 即 这样的系统称为线性不变系统 线性系统 脉冲响应函数的F T 称为传递函数 h x y 线性不变系统的输入输出关系 空域 抽样定理 抽样定理 若函数g x y 不包括高于Bx和By的频率分量 则此函数可以由一系列间隔 X Y 等于或小于1 2Bx 和1 2By 处的函数值完全决定 原函数抽样时 在x方向和y方向抽样点的最大间隔X 1 2Bx 和Y 1 2By 称为奈奎斯特 Niquest 间隔 或者说 抽样频率不能低于2Bx和2By 平面波的
3、空间频率 u P t a P cos 2pnt j P 对于携带信息的光波 感兴趣的是其空间变化部分 故引入复振幅U P 将光场用复数表示 有利于将时空变量分开 简化运算 e a P ejj P e j2pnt U P a P ejj P U P 同时表征了空间各点的振幅 U P a P 和相对位相arg U j P 对于单色平面波 j P k r 对于单色球面波 j P kr 平面波在x和y方向的空间频率分别为 cosa cosb为波矢的方向余弦 复振幅变化空间周期的倒数称为空间频率 菲涅耳衍射的三种表示 U x0 y0 hF x y U x y A0 fx fy HF fx fy A fx
4、 fy F T 表达 U x y 菲涅耳衍射 求衍射场的表达式及其强度分布的近似方法 菲涅耳衍射等效于线性空不变系统 系统的脉冲响应是 系统的传递函数是 exp jkz exp jplz fx2 fy2 夫琅禾费衍射 除了一个与传播距离z及观察面坐标有关的位相因子以外 在给定距离z的平面上衍射场的分布正比于衍射屏透射光场的傅里叶变换 其振幅及变换的尺度与距离z有关 衍射图样的光强分布 正比于孔径透射函数的功率谱 衍射图样的复振幅分布 透镜的位相变换作用 定义透镜的复振幅透过率 P2面是会聚球面波分布 P1面是发散球面波分布 透镜的相位变换因子 透镜的傅里叶变换性质 不管衍射物体位于何种位置 只
5、要观察面是照明光源的共轭面 则物面 输入面 和观察面 输出面 之间的关系都是傅里叶变换关系 即观察面上的衍射场都是夫琅和费型 我们特别关注物在透镜前焦面 平面波照明 q f d0 f 的特殊情形 此时 用单色平面波照明物体 物体置于透镜的前焦面 则在透镜的后焦面上得到物体的准确的傅里叶变换 透镜的后焦面称为频谱面 若成像系统的像质仅受有限大小光瞳的衍射效应所限制 则称为 衍射受限 系统 diffraction limitedsystem 衍射受限的相干成像系统点扩展函数是光瞳函数的傅里叶变换 衍射受限系统 线性空不变的成像系统 像的复振幅分布是几何光学理想像和系统点扩展函数的卷积 衍射受限的成
6、像系统 相干传递函数 相干成像系统点扩展函数的傅里叶变换 Hc与系统结构参数的关系 对于实际光学系统 有一个由光瞳大小决定的有限通频带 比例变化 difx dify 决定了截止频率f0 非相干成像系统点扩展函数 也称为强度脉冲响应 强度点扩展函数 是点物产生的衍射斑的强度分布 强度点扩展函数与相干成像系统点扩展函数的关系 非相干成像的物像关系 光学传递函数 OTF 强度点扩展函数的归一化频谱 OTF的一般性质 2 fx fy fx fy 即 fx fy 是厄米函数 实偶函数的F T 是实偶函数 对于中心对称的光瞳 光瞳函数为实偶函数 OTF MTF 空频为f0 调制度为m的余弦条纹 经过非相干
7、成像系统后 成为空频f0 调制度为m OTF fx f0的余弦条纹 这也是OTF的物理意义 由于 MTF MTF 0 0 1 所以成像后的对比度一定下降 全息的基本的思路 物光 O 参考光 R 二者干涉后形成干涉条纹的光强度I I O R O R 将二波干涉图样记录下来就成为全息图 全息图的复振幅透过率 t O R O R 展开后有4项 我们关注其中的2项 R O和RO 平面波形成的全息图称为全息光栅平面波与球面波 或球面波与球面波 形成的全息图称为全息波带片 设读出的照明光为C 则包含初始物光波的项CR O称为原始像项 包含物光波的复共轭的项CRO 称为共轭像项 全息图的分类 按记录介质的厚
8、度分类 薄 平面型 全息图厚 体积型 全息图按透射率函数的性质分类 振幅型位相型混合型按记录和再现的光路配置分类 透射型反射型按再现照明条件分类 激光再现白光再现 按记录介质相对物体的位置分类 菲涅耳全息图 记录介质相对物体的距离满足菲涅耳近似 得到的全息图 像面全息图夫琅和费全息图傅里叶变换全息图 利用透镜的傅里叶变换性质 产生物体的频谱 并引入参考波与之干涉 得到的全息图 相干光学信息处理 最基本的系统 空间滤波 在频谱面放置滤波器 改变物的空间频谱结构 进而改变像的分布 低通滤波器 允许通过的频率有一上限 截止频率f0在 频率 f0的区间内信号能无畸变地通过 此外全部阻塞 高通滤波器 允
9、许通过的频率有一下限带通滤波器 只通过某特定频带内的频率分量 滤波器的分类和应用举例 简单的振幅滤波器 复杂的滤波器 低通滤波器 允许通过的频率有一上限 截止频率f0在 频率 f0的区间内信号能无畸变地通过 此外全部阻塞 消除图像中的高频噪声 激光束的空间滤波等高通滤波器 允许通过的频率有一下限像边缘增强等带通滤波器 只通过某特定频带内的频率分量从半色调像中消除网纹等 方向滤波 位相滤波器 只改变傅里叶频谱的位相分布 不改变它的振幅分布 其主要功能是用于观察位相物体 相衬显微镜光栅滤波器正交朗奇光栅 产生输入图像的多重像 一维余弦光栅 实现图像相加 相减 复合光栅 实现图像相加 相减 微分 匹
10、配滤波器 实现输入与目标图像的相关运算 第二部分 基本技能 简单和复合孔径的数学描述 矩孔 圆孔 单缝 位相板等 它们的中心位置 缩放比例及其它参数 ejp d x x0 简单和复合孔径的数学描述 多孔 多缝 线光栅 余弦光栅等 它们的各种参数 线光栅的线间距 多缝和矩形光栅的缝宽 缝间距 缝数 余弦光栅的空间频率 调制度 尺寸 会用单个孔径函数与d 函数或梳状函数的卷积表示重复性的孔径 脉冲函数的运算 乘积性质 设f x 在x0点连续 则 f x d x x0 f x0 d x x0 任意函数与d 函数的乘积 是幅度变化了的d 函数 f x d x x0 f x x0 包含脉冲函数的卷积 任
11、意函数与d 函数的卷积 是将该函数位移到d 函数所在的位置 切勿混淆 卷积和相关的运算 有限宽度的两个函数 卷积后的宽度通常是两函数宽度的和 卷积的位移不变性 若f x h x g x 则f x x0 h x g x x0 或f x h x x0 g x x0 f x d x x0 f x x0 包含脉冲函数的卷积 基本卷积 rect x rect x tri x 相关运算主要化为卷积进行 并结合OTF性质和匹配滤波 常用基本函数的傅里叶变换和逆变换 常用基本函数的傅里叶变换和逆变换 要求会利用傅里叶变换的性质和卷积定理 借助图解 计算较复杂函数的卷积和傅里叶变换 利用傅里叶变换的性质和定理求
12、较复杂函数的傅里叶变换和卷积 空间缩放 平移定理 频率位移 卷积定理 会用图解表示 可分离变量函数的变换 若g x y g1 x g2 y 例 sinc ax sinc2 bx 平面波和球面波复振幅的数学描述 平面波 注意A k a b q各代表什么 如果给定的是光强度 应当如何表示 球面波 已将球面波中心S取在z0 0的平面 且光波沿z轴正方向传播 如果z 0 上式代表从S发散的球面波 如果z 0 上式代表向S会聚的球面波 简单孔径和光栅的夫琅和费衍射图样 计算和画图 照明条件 振幅为A的单色平面波垂直照明 透镜焦平面复振幅分布 若仅考察后焦面上的光强度分布 则 是物体分布t x0 y0 的
13、能量谱密度 要会做单缝 双缝 矩孔 矩形光栅 余弦光栅等 简单光瞳的相干 光学传递函数及相应的截止频率 非相干截止频率是相干截止频率的2倍 例 出瞳为边长l的正方形 相干截止频率 相干传递函数 光学传递函数 会画沿某一方向这些传递函数的截面图 注意光瞳位置改变引起传递函数的变化 全息图的记录与再现波前记录 曝光光强为 I x y U x y U x y O 2 R 2 O R O R 全息干板H上设置x y坐标 全息图的透过率函数tH与曝光光强成正比 tH x y O 2 R 2 O R O R 全息图的记录与再现波前再现 全息学基本方程 用照明光波C x y C0 x y exp jfc x
14、 y 照射全息图 C0 O02 R02 exp jfc x y C0O0R0exp j fo fr fc C0O0R0exp j fo fr fc U x y C0 x y exp jfc x y O 2 R 2 O R O R 与再现光相似 第三部分 综合能力 利用傅里叶变换及其定理求解某些特殊函数的积分 用解析法和图解法处理线性空不变系统的输入输出问题 空域 频域 用解析法和图解法处理衍射受限系统的成像问题 给出物函数 复振幅或光强透射率 会写出其频谱函数 给出光学系统参数 会写出其相干传递函数或光学传递函数 画出草图 算出相应的截止频率 计算像 复振幅或强度 的频谱 再反算出相应的空间分
15、布 或用图表示 相干照明下 由像的复振幅分布再求像强度 非相干照明下 可由特定空频的余弦分量的MTF值 直接求相应的像条纹的调制度 注意区分相干照明和非相干照明 全息图的记录与再现 记录 关键是正确写出物光O和参考光R的复振幅表达式 二者干涉后形成全息图的复振幅透过率正比于 O R O R 展开后有4项 我们关注的是其中的2项 R O和RO 涉及全息光栅制作 由 R O RO 可获得光栅空频的信息 结合0级项可得到光栅调制度再现涉及全息透镜的问题 设再现的照明光为垂直入射的平面波 直接考察R O和RO 涉及全息光栅的衍射问题 结合透镜的傅里叶变换性质如果涉及变波长使用的问题 即记录时的波数为k0 再现时的波数为k1 要将再现时衍射级的位相函数由exp jk0 的形式改写成exp jk1 的形式
