1、第2章线性规划的对偶理论及其应用 线性规划最重要的理论之一进行经济分析的重要工具 2 1线性规划的对偶问题 一 对偶问题的提出二 原问题与对偶问题的对应关系三 原问题与对偶问题的数学模型 一 对偶问题的提出 例1 大众家电厂家利用现有资源生产两种产品 有关数据如下表 设 产量 产量 问如何安排生产 使获利最多 例2 1 有一个企业家接到一批加工定单 需用到设备A B C 有意租用大众家电厂的三种设备 问该企业家应如何出价 才能使家电厂觉得有利可图肯把设备出租 又使自己付出的租金最少 企业家 付出的代价最小 出让代价应不低于用同等数量的资源自己生产的利润 对方能接受 厂家 厂家能接受的条件 收购
2、方的意愿 出让代价应不低于用同等数量的资源自己生产的利润 设 设备A y1元 时 设备B y2元 时 设备C y3元 时 对偶问题 原问题 企业家 厂家 一对对偶问题 例2 2假定一个成年人每天需要从食物中获取3000kcal的热量 55g蛋白质和800mg的钙 如果市场上只有四种食品可供选择 问如何选择才能在满足营养的前提下使购买食品的费用最小 例2 2 有一个厂商生产三种可代替食品中热量 蛋白质 钙的营养素 问该厂商应如何制定每种营养素单位营养量的价格 使其获得最大的收益 消费者 经营者 原问题 对偶问题 一对对偶问题 3个约束2个变量 2个约束3个变量 一般规律 二 原问题与对偶问题的对
3、应关系 对偶问题 原问题 3个约束 4个变量 4个约束 3个变量 三 原问题与对偶问题的数学模型 1 对称型对偶问题 2 标准型对偶问题 3 混合型对偶问题 定义 设原线性规划问题为 则称下列线性规划问题 bi无正负限制 1 对称型对偶问题 为其对偶规划 P D 一对对偶问题 互为对偶 所求对偶问题为 所求对偶问题为 对称型对偶问题的矩阵形式 2 标准型对偶问题 设原问题 P 为标准型 化为对称型 所求对偶问题为 所求对偶问题为 所求对偶问题为 所求对偶问题为 与对称型对偶问题比较 规则 若原问题 P 的约束方程为 约束 则对偶原问题 D 的变量无符号限制 因此若原问题 P 为标准型 则对偶问
4、题 D 为 3 混合型对偶问题 化为对称型 化为对称型 对偶规划问题 D 为 对偶规划问题 D 为 对偶规划问题 D 为 对偶规划问题 D 为 原问题 P 对偶问题 D 变量约束 方程约束 变量 方程 变量无限制 方程 变量 方程 方程约束 变量约束 方程 变量无限制 方程 变量 方程 变量 结构与对称型相似 P 与 D 的关系对应表 目标函数max 目标函数min 目标函数系数 约束方程常数列 约束方程常数列 目标函数系数 变量个数n 约束方程个数n 约束方程个数m 变量个数m 约束方程 变量 0 0 无符号约束 变量 0 约束方程 0 无符号约束 系数矩阵A 3 P 与 D 的关系对应表 目标函数max 目标函数min 目标函数系数 约束方程常数列 约束方程常数列 目标函数系数 变量个数n 约束方程个数n 约束方程个数m 变量个数m 约束方程 变量 0 0 无符号约束 变量 0 约束方程 0 无符号约束 系数矩阵A 3 练习 P 与 D 的关系对应表 目标函数max 目标函数min 目标函数系数 约束方程常数列 约束方程常数列 目标函数系数 变量个数n 约束方程个数n 约束方程个数m 变量个数m 约束方程 变量 0 0 无符号约束 变量 0 约束方程 0 无符号约束 系数矩阵A
