1、10 2排列 3 例1某年全国足球甲级 A组 联赛共14队参加 每队都要与其余各队在主 客场比赛1次 共进行多少场比赛 解 任何2队间进行1次主 客场比赛 对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列 答 一共进行182场比赛 思考 2个足球队之间进行比赛 要进行几场比赛 2个足球队之间在主 客场分别比赛 要进行几场比赛 例2 1 有5本不同的书 从中选3本送给3名同学 每人各1本 共有多少种不同的送法 2 有5种不同的书 要买3本送给3名同学 每人各1本 共有多少种不同的送法 解 1 从5本不同的书中选3本送给3名同学 相当于从5个元素中任取3个元素的一个排列 2 从5种不同的书中买3本书 这
2、3本书并不要求都不相同 用分步计数原理 说明 两个小题的区别 1 是典型的排列问题 2 不是排列问题 用分步计数原理解决 例3某信号兵用红 黄 蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号 每次可以任挂1面 2面或3面 并且不同的顺序表示不同的信号 一共可以表示多少种不同的信号 解 分为3类 第1类 挂1面第2类 挂2面第3类 挂3面 练习 由1 2 3这3个数字可以组成多少个没有重复数字的正整数 注 解排列应用题 注意分类与分步原理的应用 一 无条件限制的排列问题 解题的关键 1确定该题是否是排列问题 将实际问题 转化 为排列问题 2正确找出n m的值3准确应用两个原理 实际问题 转化 排列问题
3、 求排列数 建模 求数学模型的解 得实际问题的解 练习 1 车上有7个座位 5名乘客就座 有多少种就座方式 2 4辆公交车 有4位司机 4位售票员 每辆车上配一位司机和一位售票员 有多少种不同的搭配方案 3 四个同学争夺三项竞赛冠军 冠军获得者的可能种数有多少 不是排列问题 用分步计数原理 有4 4 4 64种 4 由1 4 5 x四个数字组成没有重复数字的四位数 若所有的四位数的各数位上的数字之和为288 求x 解 由题意得 即24 10 x 288 x 2 例4用0到9这10个数字 可以组成多少个没有重复数字的三位数 分析 有一个限制条件 百位上不能排0 解法1从特殊位置出发 分2步 第1
4、步 先排百位第2步 再排其它两位 由分步计数原理 法2从特殊元素出发 分3类 第1类 每一位数字都不是0第2类 个位数字是0第3类 十位数字是0 由分类计数原理 法3 间接法 从10个数字中任取3个数字的排列数其中0在百位上的排列数 所求的三位数的个数为 二 有限制的排列问题 限制条件 某位置上不能排某元素或只能排某元素 常用方法 1 直接法 2 间接法 排除法 a优限法 先特殊后一般 b捆绑法 元素相邻 c插空法 元素不相邻 有特殊元素或特殊位置 通常先排特殊元素或特殊位置 称为 优限法 先不考虑限制条件 算出所有的排列数 再从中减去不符合条件的排列数 例57位同学站成一排照相 按下列要求
5、各有多少种不同的排法 1 甲必须站在中间 2 甲 乙必须站在两端 3 甲不在中间 解 1 法1因为甲固定在中间 只需要其余6个位置排6个人 法2 排除法 7个任意排 有种 其中甲不在中间 有 甲在中间有 2 分两步 第1步 排两端第2步 排中间5人 由分步计数原理 4 甲既不在排头 也不在排尾 解 法1 优先考虑特殊元素 分两步 第1步 先排甲 不在头 尾第2步 再排其他人 由分步计数原理 法2 优先考虑特殊位置 分两步 第1步 除甲外 其他6人中选2人站头 尾 第2步 其余位置 由分步计数原理 法3 排除法 7个人任意排 甲在头或尾 5 甲 乙必须相邻 解 由于甲 乙必须相邻 可分2步 第1
6、步 视甲 乙为一个元素与其他5人排 第2步 甲 乙在一起排 由分步计数原理 说明 某些元素要求必须相邻时 可以先将这些元素看作一个元素 与其它元素排列后 再考虑相邻元素的内部排序 称为 捆绑法 6 甲 乙两人必须不相邻 解 法1 甲 乙不相邻 先排其余5人 有种 5人排列共有6个空 从中选2个空排甲 乙 有种 共有 法2 总的排法减去相邻的排法 说明 某些元素不相邻时 可先排其它元素 再将这些不相邻元素插入空挡 称为 插空法 7 甲 乙 丙三人的顺序一定 解 另 甲 乙 丙三人的顺序一定 就是有顺序 无位置 相当于7个位置排4个元素 练习 甲 乙顺序一定 说明 n个不同元素中m个元素顺序一定的排列问题的排法 练习 1 5个人站成一排 其中甲不站在排头 乙不站在排尾 有多少种排法 分析 甲站排头有种排法 乙站排尾有种排法但两种情况中都包含了 甲站排头 乙站排尾 有种排法 2 2000全国高考 乒乓球队10名队员中有3名主力队员 派5名队员参加比赛 3名主力队员要安排在第一 三 五位置 其余7名队员选2名安排在第二 四位置 那么不同的出场安排有种 252 分析 先将3名女生看作一个元素 与5名男生排 再3名女生之间排 4 5名男生和3名女生站成一排 任何两个女生不相邻 不同排法的种数为 D D
