1、第一章矢量分析 1 1 矢量的基本运算 1 2学时 1 2 矢量的通量和散度 3 4学时 1 3 矢量的环量和旋度 5 6学时 1 4 标量的方向导数和梯度 7 8学时 返回 第1 2学时1 1矢量的基本运算 1 1 1标量和矢量电磁场中遇到的绝大多数物理量 能够容易地区分为标量 Scalar 和矢量 Vector 一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量 例如 电压 温度 时间 质量 电荷等 实际上 所有实数都是标量 一个有大小和方向的物理量称为矢量 电场 磁场 力 速度 力矩等都是矢量 例如 矢量A可以表示成A aA其中 A是矢量A的大小 a代表矢量A的方向 a A A其大小等于1 返回
2、 一个大小为零的矢量称为空矢 NullVector 或零矢 ZeroVector 一个大小为1的矢量称为单位矢量 UnitVector 在直角坐标系中 用单位矢量ax ay az表征矢量分别沿x y z轴分量的方向 空间的一点P X Y Z 能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定 如图1 1所示 从原点指向点P的矢量r称为位置矢量 PositionVector 它在直角坐标系中表示为r axX ayY azZ 图1 1直角坐标系中一点的投影 X Y Z是位置矢量r在x y z轴上的投影 任一矢量A在三维正交坐标系中都可以给出其三个分量 例如 在直角坐标系中 矢量A的三个分量分别是Ax
3、 Ay Az 利用三个单位矢量ax ay az可以将矢量A表示成 A axAx ayAy azAz矢量A的大小为A A A2x A2y A2z 1 2 1 1 2矢量的加法和减法矢量相加的平行四边形法则 矢量的加法的坐标分量是两矢量对应坐标分量之和 矢量加法的结果仍是矢量 1 1 3矢量的乘积矢量的乘积包括标量积和矢量积 1 标量积任意两个矢量A与B的标量积 ScalarProduct 是一个标量 它等于两个矢量的大小与它们夹角的余弦之乘积 如图1 2所示 记为A B ABcos 图1 2标量积 例如 直角坐标系中的单位矢量有下列关系式 ax ay ay az ax az 0ax ax ay
4、ay az az 1任意两矢量的标量积 用矢量的三个分量表示为A B AxBx AyBy AzBz标量积服从交换律和分配律 即A B B AA B C A B A C 2 矢量积任意两个矢量A与B的矢量积 VectorProduct 是一个矢量 矢量积的大小等于两个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积 其方向垂直于矢量A与B组成的平面 如图1 3所示 记为C A B anABsin an aA aB 右手螺旋 图1 3矢量积的图示及右手螺旋 a 矢量积 b 右手螺旋 矢量积又称为叉积 CrossProduct 如果两个不为零的矢量的叉积等于零 则这两个矢量必然相互平行 或者说 两个相互平行矢量的叉
5、积一定等于零 矢量的叉积不服从交换律 但服从分配律 即A B B AA B C A B A C 直角坐标系中的单位矢量有下列关系式 ax ay az ay az ax az ax ayax ax ay ay az az 0在直角坐标系中 矢量的叉积还可以表示为 ax AyBz AzBy ay AzBx AxBz az AxBy AyBx 矢量函数的导数与积分 矢量函数一般是空间坐标的函数 有时它也是时间的函数 在我们以后研究的有关内容中必将涉及到矢量函数随空间坐标和时间的变化率问题 既对上述变量的导数问题 矢量函数的导数与积分 矢量函数对空间的偏导数仍是一个矢量 它的分量等于原矢量函数各分量对
6、该坐标的偏导数 这一结论同样矢用于矢量函数对时间求导数 矢量函数的积分包括不定积分和定积分两种 它们和一般函数的积分在形式上类似 所以一般函数积分的基本法则对矢量函数积分也适用 矢量场 矢量场的矢量线矢量场中任意一点P处的矢量可以用一个矢性函数A A P 来表示 当选定了直角坐标系后 它就可以写成如下形式 A A x y z 设Ax Ay Az为矢性函数A在直角坐标系中的三个坐标分量 且假定它们都具有一阶连续偏导数 则A又可以表示为A axAx x y z ayAy x y z azAz x y z 所谓矢量线是这样一些曲线 在曲线上的每一点处 场的矢量都位于该点处的切线上 如图1 4所示 像
7、静电场的电力线 磁场的磁力线 流速场中的流线等 都是矢量线的例子 图1 4矢量线图 设P为矢量线上任一点 其矢径为r 则根据矢量线的定义 必有A dr 0在直角坐标系中 矢径r的表达式为r axx ayy azz矢量场的矢量线满足的微分方程为 第3 4学时1 2矢量的通量和散度 1 2 1矢量场的通量在矢量场A中取一个面元dS及与该面元垂直的单位矢量n 外法向矢量 如图所示 则面元矢量表示为 dS ndS 返回 矢量场的通量及散度 由于所取的面元dS很小 因此可认为在面元上各点矢量场A的值相同 A与面元dS的标量积称为矢量场A穿过dS的通量记作A dS Acos dS因此矢量场A穿过整个曲面S
8、的通量为 1 2 2 矢量场的散度1 散度的定义设有矢量场A 在场中任一点P处作一个包含P点在内的任一闭合曲面S 设S所限定的体积为 V 当体积 V以任意方式缩向P点时 取下列极限 如果上式的极限存在 则称此极限为矢量场A在点P处的散度 记作 显然 其物理意义是从点P单位体积内散发的通量 在直角坐标系中 散度的表达式为 2 哈米尔顿 Hamilton 算子为了方便 引入一个矢性微分算子 在直角坐标系中称之为哈米尔顿算子 是一个微分符号 同时又要当作矢量看待 算子与矢性函数A的点积为一标量函数 在直角坐标系中 散度的表达式可以写为 矢量函数A在圆柱坐标系和球坐标系中的散度表达式分别为 1 2 3
9、高斯散度定理 DivergenceTheorem 在矢量分析中 一个重要的定理为散度定理 1 3 1环量的定义设有矢量场A l为场中的一条封闭的有向曲线 定义矢量场A环绕闭合路径l的线积分为该矢量的环量 记作矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样 都是描绘矢量场A性质的重要物理量 同样都是积分量 为了知道场中每个点上旋涡源的性质 引入矢量场旋度的概念 第5 6学时1 3矢量的环度和旋度 返回 矢量场的环量 闭合曲线方向与面元的方向示意图 1 3 2 矢量场的旋度1 旋度的定义设P为矢量场中的任一点 作一个包含P点的微小面元 S 其周界为l 它的正向与面元 S的法向矢量n成右手螺旋关系 如下图所示
10、 当曲面 S在P点处保持以n为法矢不变的条件下 以任意方式缩向P点 取极限 称固定矢量R为矢量A的旋度 记作rotA R上式为旋度矢量在n方向的投影 如图所示 即 旋度及其投影 矢量场的旋度仍为矢量 在直角坐标系中 旋度的表达式为 为方便起见 也引入算子 则旋度在直角坐标系中为 矢量函数A在圆柱坐标系和球坐标系中的旋度表达式分别为 旋度的一个重要性质就是任意矢量旋度的散度恒等于零 即 A 0即如果有一个矢量场B的散度等于零 则该矢量B就可以用另一个矢量A的旋度来表示 即当 B 0则有B A 矢量分析中另一个重要定理是 称之为斯托克斯定理 其中S是闭合路径l所围成的面积 它的方向与l的方向成右手
11、螺旋关系 该式表明 矢量场A的旋度沿曲面S法向分量的面积分等于该矢量沿围绕此面积曲线边界的线积分 1 3 3斯托克斯定理 StokesTheorem 例 已知一矢量场F axxy ayzx 试求 1 该矢量场的旋度 2 该矢量沿半径为3的四分之一圆盘的线积分 如图所示 验证斯托克斯定理 四分之一圆盘 1 4 1标量的方向导数和梯度一个标量场u可以用一个标量函数来表示 在直角坐标系中 可将u表示为u u x y z 令u x y z C C为任意常数 该式在几何上一般表示一个曲面 在这个曲面上的各点 虽然坐标 x y z 不同 但函数值相等 称此曲面为标量场u的等值面 随着C的取值不同 得到一系
12、列不同的等值面 如下图所示 同理 对于由二维函数v v x y 所给定的平面标量场 可按v x y C得到一系列不同值的等值线 第7 8学时1 4标量的方向导数和梯度 返回 标量场的等值面 1 方向导数的定义设P0为标量场u u P 中的一点 从点P0出发引出一条射线l 如下图所示 在l上P0点邻近取一点P 记线段P0P l 如果当P P0时极限存在 则称它为函数u P 在点P0处沿l方向的方向导数 DirectionalDerivative 记为 1 4 2 方向导数 方向导数 在直角坐标系中 设函数u u x y z 在P0 x0 y0 z0 处可微 则有 式中 当 l 0时 0 将上式两
13、边同除以 l并取极限得到方向导数的计算公式 1 4 3 方向导数的计算公式 其中 cos cos cos 为l方向的方向余弦 1 梯度的定义方向导数为我们解决了函数u P 在给定点处沿某个方向的变化率问题 然而从场中的给定点P出发 标量场u在不同方向上的变化率一般说来是不同的 那么 可以设想 必定在某个方向上变化率为最大 为此 定义一个矢量G 其方向为是函数u在点P处变化率为最大的方向 其大小就是这个最大变化率的值 这个矢量G称为函数u在点P处的梯度 Gradient 记为 1 4 4标量场的梯度 算子 与标量函数u相乘为一矢量函数 在直角坐标系中 梯度又可以表示为 另外 还经常用到标量拉普拉
14、斯算子 LaplaceOperator 即 2 在直角坐标系中标量函数的拉普拉斯表达式为 标量函数u在圆柱坐标系中的梯度和拉普拉斯表达式分别为 标量函数u在球坐标系中的梯度和拉普拉斯表达式分别为 梯度有以下重要性质 1 方向导数等于梯度在该方向上的投影 即 2 标量场u中每一点P处的梯度 垂直于过该点的等值面 且指向函数u P 增大的方向 即梯度为该等值面的法向矢量 3 u 0 如果矢量场F满足 F 0 即F是一个无旋场 则矢量场F可以用标量函数u的梯度来表示 即F u 称标量函数为势函数 PotentialFunction 对应的矢量场为有势场 如静电场中的电场强度就可以用一个标量函数的梯度来表示 2 梯度的性质 设标量场u 根据梯度的性质 标量场的梯度F是一个无旋场 则由斯托克斯定理知 无旋场沿闭合路径的积分必然为零 即 而 3 梯度的积分 无旋场沿不同路径的积分 如右图所示 说明积分与路径无关 仅与始点P1和终点P2的位置有关 又 假如选定始点P1为不动的固定点 参考点 P2点为任意动点 则P2点的函数值可表示为 该式表明 如果已知一个无旋场 选定一个参考点 就可由上式求得其标量场u 如在静电场中 已知电场强度 就可求得电位函数
