1、第5章留数 本章的学习目标1 了解孤立奇点的概念 2 会求可去奇点 本性奇点 3 熟练掌握极点的求法 4 会求留数 5 熟练掌握留数定理 6 会用留数定理计算积分 7 了解留数的一些应用 5 1孤立奇点 5 1 1孤立奇点的概念5 1 2孤立奇点的分类根据展开的罗伦级数的不同情况将孤立奇点作如下分类 1 可去奇点2 极点3 本性奇点 5 1孤立奇点 5 1 1孤立奇点的概念定义1如果函数在处不解析 但在的某个去心邻域内处处解析 那末称为的孤立奇点 1可去奇点 定义2如果罗伦级数中不含的负幂项 那么孤立奇点称为的可去奇点 这时在它的孤立奇点的去心邻域内的罗伦级数实际上就是一个普通的幂级数 例如是
2、的可去奇点 因为在的去心邻域内的罗伦级数为 2极点 定义3如果的罗伦级数中只有有限多个的负幂项 且其中关于的最高幂为 即那么孤立奇点称为的级极点 3本性奇点 定义4如果罗伦级数中含有无穷多个的负幂项 那么孤立奇点称为的本性奇点 5 1 3函数的零点与极点的关系 定理 1 如果是的级零点 则是的级零点 2 如果是的级极点 则是的级零点 反过来也成立 例1试求的孤立奇点 解因为其中在解析 并且似乎是函数的二级极点 其实是一级极点 由此可见 我们在求函数孤立奇点时 不能一看函数的表面形式就急于做出结论 例2试求的孤立奇点 解 因为其中在解析 并且似乎是函数的三级极点 其实是二级极点 由此可见 我们在
3、求函数孤立奇点时 不能一看函数的表面形式就急于做出结论 5 2留数 5 2 1留数概念5 2 2留数定理定理一 留数定理 设函数在区域内除有限个孤立奇点处处解析 是内包含诸奇点的任意一条正向简单闭曲线 则 5 2 2 一 如果是的可去奇点 那末因为此时在的展开式是泰勒展开式 所以 二 如果是的本性奇点 那末那就往往只能用在展开成罗伦级数的方法求 三 如果是的极点 我们有以下三个计算留数的规则 规则1如果是的一级极点 那末 5 2 3 三 如果是的极点 规则2如果是的级极点 那末 5 2 4 规则3设及在都解析 如果那么是的一级极点 而 5 2 5 例3计算积分为正向圆周 解 根据规则1 有同理
4、 因此 例3我们也可用规则3来求留数 因此 例4求在处的留数 解 应用规则3 5 3 1在无穷远点的留数 关于在无穷远点的留数的计算 我们有以下的规则 规则4 5 3 3 5 4 1留数在定积分计算上的应用 复变函数是一门工程数学 在工程技术上有许多应用 复变函数在稳定平面流场和静电场以及在工程技术上都有许多用 由于涉及到许多专业知识 因此我们在此只简述一点留数在定积分计算上的应用 在数学以及实际问题中往往要求出一些定积分的值 而这些定积分中 被积函数的原函数不能用初等函数的有限形式表示出来 有时即便可求出原函数 计算也往往比较复杂 利用留数定理 来计算这些类型的定积分 只需计算这些解析函数在孤立奇点处的留数 这样一来就把问题大大简化了
