1、数学精英 PK 组系列讲座 筑阶段 061数学竞赛筑阶系列讲座平面几何之二讲解人：凌 彬姓名 _13设四边形 ABDC 中，AD 平分 ，H 为 AD 上任一点，BH、CH 分别交 AC、AB 于BDCE、F；求证： DHF ABCDEFH14求证：H 是 的垂心的充要条件是 H 在高 AD 上且 ABC 180BHCABDEFHC15在锐角 中， ，AD 是高，H 是 AD 上一点，连结 BH 并延长交 AC 于 E，连结ABCACH 并延长交 AB 于 F；若 B、C、E、F 四点共圆，问：H 是否一定是 的垂心？ABDFHC16 【九点圆定理】三角形三边的中点，三边的垂足，垂心与顶点连线
2、的中点，凡九点共圆数学精英 PK 组系列讲座 筑阶段 062HCBA17 【西姆松定理】设 的外接圆为O，从圆上任一点 P 到三边作垂线，垂足分别为ABCD、E、F，则 D、E 、F 三点共线OFEDPCBA18 【欧拉公式】设 的外心为 O，内心为 I，外接圆半径为 R，内切圆半径为 r，又记外心ABC与内心的距离 OI 为 d，则有 （此式称为欧拉公式）2Rr DKrMIOCBA19 【拿破伦定理】以任一 的边为边向外作正三角形，三个正三角形的中心 O1、O 2、O 3组ABC数学精英 PK 组系列讲座 筑阶段 063成一个正三角形O3O2O1C'B'A'CBA20
3、 【蝴蝶定理】在O 中，设 P 为弦 EF 的中点，过 P 再作两条弦 AC、BD，连结 BC、AD ，分别与弦 EF 相交于 Q、R ；则 QR FED CBAOP21两个重要的轨迹轨迹 1：设 O1、O 2为定点，动点 P 到 O1、O 2的距离的平方差： （ 为定值） ，21POa求点 P 的轨迹轨迹 2：已知两个定圆O 1、O 2，动点 P 到这两个圆的幂，求点 P 的轨迹（定义：对于一个圆，过 作直线交圆于 、 ，则 称为 关于该圆的幂）AB22如图，三个正方形排在一起，证明： （请用纯平面几何方法证明）90数学精英 PK 组系列讲座 筑阶段 06423已知四边形 ABCD 的边 A
4、B、BC、CD 与 DA 分别等于四边形 A1B1C1D1的边A1B1、B 1C1、C 1D1与 D1A1，并且 ， ，求证：这两个四边形都是平行四边形/B11/CDA24正方形 ABCD 的边 BC、CD 上分别取点 M、N，使得 ，AM、AN 将对角线CNABBD分为三条线段，求证：这三条线段一定能组成三角形，且这个三角形有一个内角为 60 QP NMDCBA课后练习4等腰直角 中， ，点 和 为边 上的点，且DAE45° ， 的外接ABC90DEBCADE圆分别交边 和 于点 和 ，求证： PQPQQPEDCBA数学精英 PK 组系列讲座 筑阶段 0655设 为直线 上顺次排列的五点， ， 在直线 外的一点，连结ABCDE、 l ACBEDFlFC并延长至点 ，恰使 ， 同时成立；求证： GFAGDFGAEA B C D EFGl
