1、实系数一元二次方程 实系数一元二次方程的虚数根 容易验证 上述的两个共轭虚数根同样满足一元二次方程中根与系数的关系 即 解方程 因式分解 例1 在复数集中解方程 分解因式 2 若 0 设两根为x1 2 m ni 则 ex3 若是实系数一元二次方程的一个根 求方程另一根以及p q的值 例2 已知方程的两根为x1 x2 若 x1 x2 1 求实数p的值 ex4 已知方程的两根为x1 x2 若 x1 x2 3 求实数p的值 例3 设关于x的方程的两根模之和为2 求实数m的值 m 0 m 1 例4 已知关于x的实系数方程有一个模为2的虚根 求实数k的值 K 1 实系数高次方程一般地 n次方程有n个根
2、当系数为实数时 虚根成对出现 例5 有一个实根为1 另外两个根为虚根 求解方程 复数系数的一元二次方程 例6 1 方程有一个根为1 2i 求实数k的值 2 方程有实根 求k的值 作业1 是否存在复数 使得同时成立 证明你的结论 作业2 已知 是实系数一元二次方程的两个根 m为常数 求 的值 作业4 关于x的实系数方程有一个模为1的根 求k 作业3 关于x的二次方程有实数根 求复数z模的最小值 复数的三角形式将复数的乘法 部分地 转变成加法 模相乘 幅角相加 这种改变运算等级的现象在初等函数中有过体现 对数函数与指数函数 前者将两个同底幂的乘积变成同底的指数相加 后者将两个真数积的对数变成两个同
3、底对数的和 从形式上看 复数的乘法与指数函数的关系更为密切些 复数的指数形式 根据这个特点 复数应该可以表示成某种指数形式 即复数应该可以表示成的形式 复数的指数形式 从复数的模与幅角的角度看 复数的指数形式其实是三角形式的简略化 复数指数形式很好的解释了复数乘法 除法及乘方运算 并遵循相关运算律 的证明 泰勒级数法 写成泰勒级数形式 将 代入可得 eiz cosz isinz 欧拉公式 z R 将函数 由复数的三角形式与指数形式 我们很容易得到下面的两个公式 这两个公式被统称为欧拉公式 在复数的指数形式中 令r 1 就得到下面的等式 或 复数的指数形式 例1 三角级数求和 复数的应用 例1
4、三角级数求和 解 另一方面 解 例1 三角级数求和 即 所以 例1 三角级数求和 例2 设M是单位圆周x2 y2 1上的动点 点N与定点A 2 0 和点M构成一个等边三角形的顶点 并且M N A M成逆时针方向 当M点移动时 求点N的轨迹 设M N A对应的复数依次为 那么向量AM可以用向量AN绕A点逆时针旋转300度得到 用复数运算来实现这个变换就是 复数的应用 例2 设M是单位圆周x2 y2 1上的动点 点N与定点A 2 0 和点M构成一个等边三角形的顶点 并且M N A M成逆时针方向 当M点移动时 求点N的轨迹 即 所以 但 故 例2 设M是单位圆周x2 y2 1上的动点 点N与定点A 2 0 和点M构成一个等边三角形的顶点 并且M N A M成逆时针方向 当M点移动时 求点N的轨迹 整理得 或 思考与练习 2 设M是单位圆周x2 y2 1上的动点 点N与定点A 2 0 和点M构成一个等腰直角三角形斜边的端点 并且M N A M成逆时针方向 当M点移动时 求点N的轨迹 1 利用复数推导三倍角公式 3 设z1 z2 z3是复平面上三个点A B C对应的复数 证明三角形ABC是等边三角形的充分必要条件是
