1、第三讲 教学内容 差商 差分的概念与性质 Newton插值公式及其余项 重点难点 差商表 差分表 Newton插值公式的构造 教学目标 理解差商 差分的定义及其性质 掌握Newton插值公式及其余项 1 5牛顿插值公式 1 具有承袭性的插值公式 先考察线性插值的插值公式 线性插值公式可以写成如下形式 把 看做是f x 的零次多项式 令修正系数 则 22 式可写成 再修正可以进一步得到拋物插值公式 因为 所以 从而有 2 差商及其性质 对给定函数 记表示关于节点的阶差商 一阶差商定义为 二阶差商定义为 零阶差商定义为 由此可以看出 差商具有明显的承袭性 因而可以从作为零阶差商的函数值出发 逐步生
2、成高阶差商 一般地 阶差商可以递推定义为 差商表 n阶差商关于是对称的 即与节点的排列次序无关 定理1 1f x 关于的n阶差商是在这些点上的函数值的线性组合 即 证 对一阶差商有 命题成立 对二阶差商有 命题成立 一般地 由数学归纳法可知 根据上式 如果调换两个节点的顺序 只是意味着改变求和的次序 并不会改变其值 故差商与节点的排列次序无关 即n阶差商关于是对称的 3 差商形式的插值公式 按差商定义有 反复用后一个式子代入前面的式子 25 令 26 27 则有 因为 所以 故 即 这种差商形式的插值公式 称为牛顿插值公式 根据定理2 拉格朗日插值问题的解是唯一的 牛顿插值公式其实是拉格朗日插
3、值公式的一种变形 定理4 在节点所界定的范围内存在一点 使成立 证 由拉格郎日余项定理知 必有 因为 使得 所以 故 例 已知f 2 2 f 1 1 f 0 2 f 0 5 3 试选用合适的插值节点利用二次插值多项式计算F 0 5 的近似值 使之精度尽量可能高 解 根据牛顿插值余项公式 选用 作为插值节点 通过计算 可以得到如下差商表 由牛顿插值公式 可以得到该问题的二次牛顿插值多项式 所以 例 设 求差商 解 f 1 7 f 2 169 f 4 16705 4 差分形式的插值公式 在实际应用Newton插值多项式时 经常遇到插值节点是等距的 即n 1个插值节点 这里间距h为定数 称为步长 于
4、是在差商中 分母部分将变得简单 计算量主要集中在分子 两节点处函数值的差 定义 设函数f x 在等距节点 上的值为 则称 为f x 在 处一阶差分 称 为f x 在 处二阶差分 称 为f x 在 处n阶差分 依据所给数据可以逐步求出它的各阶差分 而生成如下形式的差分表 例 给定的函数表如下 00 10 20 30 40 50 6 10 9950 980070 955340 921060 877580 82534 在节点等距的情况下 差商可用差分来表示 有 这样 对于等距节点的情况 将牛顿插值公式中的差商换成相应的差分 令 则 于是 牛顿插值公式中的一般项 则 称此公式为函数插值的有限差分公式 例 已知函数y sinx的如下函数值表 利用插值法计算Sin 0 42351 的近似值 解 因为节点是等距分布的 可以使用牛顿插值公式 取 建立如下差分表 利用插值公式 有 1 6埃尔米特插值 在某些问题中 为了保证插值函数能更好密和原来的函数 不但要求 过点 即两者在节点上有相同的函数值 而且要求 相切 即在节点上还有相同的导数值 这类插值称作埃尔米特插值 问题5求作二次式 使满足 从几何图形上看 曲线与y f x 不但有两个交点 而且在处两者还相切 解1 记为具有节点的拉格郎日插值多项式 令 显然 因为 而 所以
