1、 4 5线性方程组解的结构 设线性方程组 若记 则上述方程组可写成向量方程 Ax b 当b 0时 称为齐次线性方程组 否则称为非齐次线性方程组 1 n个未知数的齐次线性方程组Ax 0有非零解的充分必要条件为其系数矩阵的秩R A n 2 n个未知数的非齐次线性方程组Ax b有解的充分必要条件为系数矩阵A与增广矩阵B A b 的秩相等 且当R A R B n时有唯一解 当R A R B n时有无穷多解 本节将最终解决线性方程组的解的理论问题 前面我们已经用初等变换的方法讨论了线性方程组的解法 并得出了两个重要结论 若x1 11 x2 21 xn n1为方程组Ax b的解 则 称为方程组Ax b的解
2、向量 一 齐次线性方程组解的性质 1 若x 1 x 2为Ax 0的解 则x 1 2也是Ax 0的解 证明 因为A 1 0 A 2 0 所以 A 1 2 A 1 A 2 0 故x 1 2也是Ax 0的解 2 若x 1为Ax 0的解 k为数 则x k 1也是Ax 0的解 证明 因为A 1 0 所以 A k 1 kA 1 k0 0 故x k 1也是Ax 0的解 这两个性质表明 Ax 0的全体解向量所组成的集合对于加法和数乘运算是封闭的 因此构成一个向量空间 称此向量空间为齐次方程组Ax 0的解空间 二 基础解系及其求法 1 基础解系的定义 定义 如果向量组 1 2 t为齐次线性方程组Ax 0的解空间
3、的一组基 则向量组 1 2 t称为齐次线性方程组Ax 0的基础解系 称向量组 1 2 t为齐次线性方程组Ax 0的基础解系 如果 1 1 2 t是Ax 0的一组线性无关的解 2 Ax 0的任一解都可由 1 2 t线性表出 用基的定义 基础解系的定义可叙述为 如果向量组 1 2 t为齐次线性方程组Ax 0的一组基础解系 那么 Ax 0的通解可表示为 x k1 1 k2 2 kt t其中k1 k2 kt为任意常数 2 线性方程组基础解系的求法 设齐次线性方程组Ax 0的系数矩阵A的前r个列向量线性无关 于是A可化为 方程组Ax 0的基础解系是不唯一的 则 Ax 0 1 现对 xr 1 xn T取下
4、列n r组数 向量 分别代入方程组 1 依次得 从而求得原方程组的n r个解 下面证明 1 2 n r是齐次线性方程组Ax 0的一个基础解系 1 证明 1 2 n r线性无关 由于n r个n r维向量 线性无关 所以n r个n维向量 1 2 n r亦线性无关 2 证明Ax 0的解空间的任一解 都可由 1 2 n r线性表示 设x 1 r r 1 n T为方程组Ax 0的一个解 作 1 2 n r的线性组合 r 1 1 r 1 2 n n r 则 也为方程组Ax 0的一个解 且 又由于 与 都是方程组Ax 0的解 而Ax 0又等价于方程组 所以 与 都是方程组 1 的解 于是 由 得 1 c1
5、2 c2 r cr 故 1 r 1 1 r 1 2 n n r 所以 1 2 n r是齐次线性方程组Ax 0的一个基础解系 即 定理1 n元齐次线性方程组Am nx 0的全体解所构成的集合S是一个向量空间 当系数矩阵的秩R A r时 解空间S的维数为n r 当R A n时 方程组Ax 0只有零解 故没有基础解系 此时解空间只含一个零向量 为0维向量空间 当R A r n时 方程组Ax 0必有含n r个向量的基础解系 1 2 n r 此时的任意解可表示为 x k1 1 k2 2 kn r n r其中k1 k2 kn r为任意常数 解空间S可表示为 S x k1 1 k2 2 kn r n r k
6、1 k2 kn r R 例1 求齐次线性方程组 的基础解系与通解 有 解 对系数矩阵A作初等行变换 变为行最简矩阵 得 即得基础解系 并由此得通解 例2 设Am nBn l Om l 证明R A R B n 证明 设B b1 b2 bl 则 AB A b1 b2 bl 0 0 0 Om l 即 Abi 0 i 1 2 l 也就是说 B的每个一列向量都是以A为系数矩阵的齐次线性方程组Ax 0的解向量 R B R b1 b2 bl n R A R A R B n 性质知 方程组Ax 0的解向量组的秩为n R A 由齐次线性方程组解的 因此 故 这正是第三章第三节的性质8 若Am nBn l O 则
7、R A R B n 例4 解线性方程组 解 对系数矩阵A施行初等行变换 所以原方程组的一个基础解系为 依此得 故原方程组的通解为 x k1 1 k2 2 k3 3 其中k1 k2 k3 R 三 非齐次线性方程组解的性质 证明 因为A 1 b A 2 b 1 非齐次线性方程组解的性质 1 设x 1及x 2都是方程组Ax b的解 则x 1 2为对应齐次方程组Ax 0的解 所以 A 1 2 A 1 A 2 b b 0 故 x 1 2为对应齐次方程组Ax 0的解 2 设x 是方程组Ax b的解 x 是方程组Ax 0的解 则x 仍为方程组Ax b的解 证明 因为A b A 0 所以 A A A 0 b
8、b 故 x 为方程组Ax b的解 2 非齐次线性方程组的通解 其中k1 1 k2 2 kn r n r为对应齐次线性方程组Ax 0的通解 为非齐次线性方程组Ax b的任意一个特解 非齐次线性方程组Ax b的通解为 x k1 1 k2 2 kn r n r 3 与方程组Ax b有解的等价的命题 线性方程组Ax b有解 向量b能由向量组 1 2 n线性表示 向量组 1 2 n与向量组 1 2 n b等价 矩阵A 1 2 n 与矩阵B 1 2 n b 的秩相等 设矩阵A 1 2 n 4 线性方程组的解法 1 应用克莱姆法则 2 利用初等变换 特点 只适用于系数行列式不等于零的情形 计算量大 容易出错
9、 但有重要的理论价值 可用来证明很多命题 特点 适用于方程组有唯一解 无解以及有无穷多解的各种情形 全部运算在一个矩阵 数表 中进行 计算简单 易于编程实现 是有效的计算方法 例4 求解方程组 解 对增广矩阵B施行初等行变换 可见R A R B 2 故方程组有解 并有 取x2 x4 0 则x1 x3 即得方程组的一个解 取 即得对应的齐次线性方程组的基础解系为 于是所求通解为 例5 求解方程组 解 对增广矩阵B施行初等行变换 可见R A R B 2 故方程组有无穷多解 并且 故 原方程组等价于方程组 求基础解系 令 代入上述方程组 依次得 故得基础解系 求特解 所以方程组的通解为 即得方程组的
10、一个解 其中k1 k2 k3 R 另一种解法 由于 则原方程组等价于方程组 所以方程组的通解为 其中k1 k2 k3 R 四 小结 1 齐次线性方程组基础解系的求法 1 对系数矩阵A进行初等变换 将其化为最简形 由于 2 得出R A r 同时也可知方程组的一个基础解系含有n r个线性无关的解向量 令 得 故 为齐次线性方程组的一个基础解系 2 线性方程组解的情况 Ax 0有解 R A n 此时基础解系中含有n R A 个解向量 R A R B n Ax b有唯一解 R A R B n Ax b有无穷多解 R A R B Ax b无解 思考题 设A是m 3矩阵 且R A 1 如果非齐次线性方程组Ax b的三个解向量 1 2 3满足 求Ax b的通解 思考题解答 由于A是m 3矩阵 且R A 1 所以 Ax 0的基础解系中含有3 1 2个线性无关的解向量 令 1 2 2 3 3 1 则 为Ax 0的基础解系 则向量 故Ax b的通解为 其中k1 k2 k3 R
