1、固体物理学 第一章晶体结构第二章晶体中原子的结合第三章晶格振动与晶体的热学性质第四章能带理论 学习内容 第四章能带理论 学习内容 第一节金属的经典电子气理论第二节索末菲自由电子论第三节布洛赫定理第四节近自由电子近似 引子 第三节布洛赫 Bloch 定理 一 能带理论的基本近似 晶体可以看成是由外壳层电子 价电子 与内壳层电子 芯电子 和原子核组成的离子实构成 是时间的函数 晶体的定态薛定谔方程 晶体的哈密顿算符 由一切可能形式的能量算符之和构成 包括 电子动能离子动能电子 电子相互作用能离子 离子相互作用能电子 离子相互作用能离子 电子在外场中的势能 多粒子体系 多电子体系 单电子体系 周期势
2、场中单电子态薛定谔方程 布洛赫电子 这种无相互作用并在周期性势场中运动的电子 布洛赫定理内容 二 Bloch定理证明 当势场具有晶格周期性时 波动方程的解 具有如下性质 物理意义 在以晶格原胞为周期的势场中运动的电子 当平移晶格矢量时 单电子态波函数只增加了位相因子 布洛赫定理 布洛赫函数 被周期函数所调幅的平面波 布洛赫波 布洛赫函数是平面波与周期函数的乘积 根据布洛赫定理 波函数可表示为 引入平移对称操作算符T1 T2 T3 Bloch定理证明 它们的定义是 对于任意函数 有 其中为晶格三个矢量 任何两个平移算符是相互对易的 与次序无关 平移算符与晶体中布洛赫电子的哈密顿量 具有晶格周期性
3、 可以对易 两个小结论 证明 任何两个平移算符是相互对易的 与次序无关 证明 平移算符与晶体中布洛赫电子的哈密顿量 具有晶格周期性 可以对易 拉普拉斯算子 微商算符 只表示相应的中变量x y z改变一个常数值 由量子力学的基本定理 两个算符具有完全的共同本征函数系的充分条件 这两个算符可以对易 与有共同的本征函数系 对于此本征函数系的任意本征态 有 为三个基本算符的本征值 为确定本征值引入周期性边界条件 波恩 卡曼边界条件 Born VonKarman 其中分别表示沿晶格基矢方向的原胞数目 Born VonKarman边界条件对作了严格的限制 l1是任意整数 其中l1 l2 l3为整数 如果引
4、入矢量 根据倒格子基矢的定义 i j 1 2 3 利用 代入 由此得证 三 波矢k的意义 是自由电子动量的本征值 为与自由电子波函数相区别 在布洛赫函数中一般用下脚标k表示不同的电子状态 若晶格常数为a的一维晶体中 电子的波函数为 试求电子在该状态下的波矢k 解 根据布洛赫定理 波函数可表示为 在一维周期势场中运动的电子波函数满足 算符 在量子力学中 所谓微观体系有确定的状态是指 各种力学量取所有可能值的几率完全确定 引入新的数学工具算符 可反映以上所述的特点 通俗的讲 算符就是一种运算符号 若某一物理量A的算符A 作用于某一状态函数 等于某一常数a乘以 即A a 1 对 所描述的这个微观体系的状态 物理量A具有确定的数值a a称为物理量算符A 的本征值 称为A 的本征态或本征波函数 1 式称为A 的本征方程 本征波函数
