定理3 2 罗尔定理 1 在闭区间 a b 上连续 2 在开区间 a b 内可导 3 使得 3 2罗尔中值定理及其应用 证 若函数f x 满足 必有最大值M和最小值m 由费尔马引理 推论3 2可微函数的任意两个零点之间至少有的一个零点 例1证明是方程的唯一实根 证 矛盾 由罗尔定理 原命题得证 使得 例2设常数满足 试证方程 分析 注意到 在 0 1 内存在一个实根 证设 且 由罗尔定理 即 在 0 1 内可导 在 0 1 上二阶可导 且 则在内至少存在一点 例3若 证 使得 使得 上使用罗尔定理 使得 使用罗尔定理 两种常用的构造辅助函数的方法 1 常数k法 基本思路是令待证等式中的常数为k 通过 恒等变形将含有的式子写成的形式 然后用罗尔定理 则就是需要的辅助函数 进行证明 例4设 分析 证 令 罗尔定理 整理得 使得 故 即 2 因子法 如果待证等式为 如果 作辅助函数 且 只要 因此 另一因子可通过 确定 f x 是一个因子 则 问题转化为证 证设辅助函数 在 0 1 上用罗尔定理 使得 即有 例5设 分析
