1、第五章扭转 5 1扭转的概念 一 扭转的概念及实例 汽车的转向操纵杆 丝锥 电动机轴 CL5TU1 受力特征 杆受一对大小相等 方向相反的力偶 力偶作用面垂直于轴线 变形特征 横截面绕轴线转动 CL5TU2 二 外力偶矩的计算 设某轮所传递的功率是NkW 轴的转速是nrpm CL5TU18 5 2扭矩和扭矩图 扭矩 CL5TU6 例 图示传动轴 主动轮A输入功率NA 50马力 从动轮B C D输出功率分别为NB NC 15马力 ND 20马力 轴的转速为n 300转 分 作轴的扭矩图 CL5TU3 解 5 3薄壁圆筒的扭转实验 一 薄壁圆筒的扭转应力分析等厚度的薄壁圆筒 平均半径为r 壁厚为t
2、 CL5TU4 受扭前在其表面上用圆周线和纵向线画成方格 然后加载 1 纵向线倾斜了同一微小角度 2 圆周线的形状 大小及圆周线之间的距离没有改变根据以上实验现象 可得结论 圆筒横截面上没有正应力 只有剪应力 剪应力在截面上均匀分布 方向垂直于半径 观察到如下现象 剪应力在截面上均匀分布 方向垂直于半径 根据精确的理论分析 当t r 10时 上式的误差不超过4 52 是足够精确的 二 剪应力互等定理 CL5TU7 微元体单元体 剪应力互等定理 在相互垂直的两个平面上 剪应力一定成对出现 其数值相等 方向同时指向或背离两平面的交线 三 剪切胡克定律 CL5TU8 薄壁圆筒的实验 证实了剪应力与剪
3、应变之间存在着象拉压胡克定律类似的关系 即当剪应力不超过材料的剪切比例极限 p时 剪应力与剪应变成正比 G称为材料的剪切弹性模量 上式关系称为剪切胡克定律 剪切弹性模量G材料常数 拉压弹性模量E泊松比 对于各向同性材料 可以证明 E G 三个弹性常数之间存在着如下关系 5 4圆轴扭转时的应力和变形 一 圆轴扭转时横截面上的应力 变形几何关系从三方面考虑 物理关系静力学关系 CL5TU5 观察到下列现象 1 各圆周线的形状 大小以及两圆周线间的距离没有变化 2 纵向线仍近似为直线 但都倾斜了同一角度 1 变形几何关系 平面假设 变形前为平面的横截面变形后仍为平面 它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个
4、角度 CL5TU5 CL5TU5 根据剪切胡克定律 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时 剪应力方向垂直于半径 2 物理关系 3 静力学关系 CL5TU9 CL5TU5 二 圆轴扭转时的变形 CL5TU5 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件 例 实心圆轴受扭 若将轴的直径减小一半时 横截面的最大剪应力是原来的倍 圆轴的扭转角是原来的倍 8 16 例 图示铸铁圆轴受扭时 在 面上发生断裂 其破坏是由应力引起的 在图上画出破坏的截面 CL5TU10 45 螺旋 最大拉 例 内外径分别为20mm和40mm的空心圆截面轴 受扭矩T 1kN m作用 计算横截面上A点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力 CL5
5、TU11 解 例 一直径为D1的实心轴 另一内外径之比 d2 D2 0 8的空心轴 若两轴横截面上的扭矩相同 且最大剪应力相等 求两轴外直径之比D2 D1 解 由 得 例 在强度相同的条件下 用d D 0 5的空心圆轴取代实心圆轴 可节省材料的百分比为多少 解 设实心轴的直径为d1 由 得 0 8 0 8 1 192 0 8 0 512 例 一厚度为30mm 内直径为230mm的空心圆管 承受扭矩T 180kN m 试求管中的最大剪应力 使用 1 薄壁管的近似理论 2 精确的扭转理论 解 1 利用薄壁管的近似理论可求得 2 利用精确的扭转理论可求得 例 一空心圆轴 内外径之比为 0 5 两端受
6、扭转力偶矩作用 最大许可扭矩为 若将轴的横截面面积增加一倍 内外径之比仍保持不变 则其最大许可扭矩为 的多少倍 按强度计算 解 设空心圆轴的内 外径原分别为d D 面积增大一倍后内外径分别变为d1 D1 最大许可扭矩为 1 例 一空心轴 d D 0 8 转速n 250r m 功率N 60kW 40MPa 求轴的外直径D和内直径d 解 例 水平面上的直角拐 AB段为圆轴 直径为d 在端点C受铅垂力P作用 材料的剪切弹性模量为G 不计BC段变形 求C点的铅垂位移 CL5TU12 解 例 已知一直径d 50mm的钢制圆轴在扭转角为6 时 轴内最大剪应力等于90MPa G 80GPa 求该轴长度 解
7、例 圆截面橡胶棒的直径d 40mm 受扭后 原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由90 变为88 如杆长l 300mm 试求两端截面间的扭转角 如果材料的剪变模量G 2 7MPa 试求杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩 CL5TU13 解 由 例 传动轴传递外力偶矩 5kN m 材料的 30MPa G 80GPa 0 5 m 试选择轴的直径 解 例 一圆钢管套在一实心圆钢轴上 长度均为 钢管与钢轴材料相同 先在实心圆轴两端加外力偶矩 使轴受扭后 在两端把管与轴焊起来 去掉外力偶矩 求此外管与内轴的最大剪应力 CL5TU14 解 外管与内轴承受的扭矩相等 设为T 例 两端固定的圆截面等直杆AB 在
8、截面C受外力偶矩m作用 试求杆两端的支座反力偶矩 CL5TU15 解 静力平衡方程为 变形协调条件为 即 作业 P68 71 3 4 6 8 10 11 17 19 5 6非圆截面杆扭转的概念 圆截面杆扭转时的应力和变形公式 均建立在平面假设的基础上 对于非圆截面杆 受扭时横截面不再保持为平面 杆的横截面已由原来的平面变成了曲面 这一现象称为截面翘曲 因此 圆轴扭转时的应力 变形公式对非圆截面杆均不适用 CL5TU20 非圆截面杆在扭转时有两种情形 CL5TU21 1 自由扭转或纯扭转在扭转过程中 杆的各横截面的翘曲不受任何约束 任意两相邻横截面的翘曲程度完全相同 此时横截面只有剪应力 而没有
9、正应力 2 约束扭转扭转时 由于杆的端部支座的约束 使杆件截面翘曲受到一定限制 而引起任意两相邻横截面的翘曲程度不同 将在横截面上产生附加的正应力 CL5TU21 对于矩形和椭圆形的实体截面杆 由于约束扭转产生的附加正应力很小 一般可以忽略 但对于薄壁截面杆来说 这种附加的正应力是不能忽略的 一 矩形截面杆的扭转 在横截面的边缘上各点的剪应力均与周边平行 且截面的四个角点上剪应力均为零 最大剪应力发生在长边中点处 CL5TU22 二 开口薄壁杆件的自由扭转 开口薄壁杆件 如角钢 槽钢 工字钢等 壁厚远小于整个截面的高 宽尺寸 其截面中线是一条不封闭的折线 开口薄壁杆件在自由扭转时 截面要发生翘曲
