1、1 离散数学 第二篇集合论 2 第三章集合与关系 集合及其表示法集合之间的关系集合的运算包含排斥原理 3 3 1 1集合和元素 定义 具有某种性质的若干个有穷或无穷多个对象的全体称为集合 组成集合的对象称为集合的元素 通常用大写英文字母来标记集合 用小写英文字母标记组成集合的元素 3 1集合及其表示方法 4 下面是几个常见集合的表示符号 N 所有自然数的集合 Q 所有有理数的集合 Z 所有非负整数的集合 R 所有实数的集合 I 所有整数的集合 P 所有素数的集合 Nm 从1到m 这m个自然数的集合 Zm 从0到m 1 这m个非负整数的集合 示例 5 定义 设A是一个集合 a是集合A中的元素 记
2、以a A 读作a属于A 若a不是集合A中的元素 则记以a A 读作a不属于A 例如 A是正偶数集合 则2 A 8 A 36 A 而3 A 9 A 17 A 属于 belongto 6 集合中元素的性质 集合中的元素具有确定性 互异性 无序性和抽象性的特征 确定性是指一旦给定了集合A 对于任意元素a 就可以准确地判断a是否在A中 互异性是指集合中的元素之间是彼此不同的 无序性是指集合中的元素之间没有次序关系 抽象性是指集合中的元素是抽象的 甚至可以是集合 7 定义 包含有限个元素的集合 称为有限集或有穷集 定义 包含无限个元素的集合 称为无限集或无穷集 例 所有英文字母组成的集合是有限集 整数集
3、合是无限集 有限集和无限集 8 定义 设A是集合 则A中元素的个数称为集合A的基数或势 记为 A 例 若A为有限集 则 A 正整数 0 若A为无限集 对无穷可数 其基为N0 阿列夫零 对无穷不可数 基为c 集合的基数 9 3 1 2集合的表示 列举法 将集合中的元素一一列举 或列出足够多的元素以反映集合中元素的特征 例 V a e i o u 或B 1 4 9 16 25 36 描述法 用谓词来概括集合中元素的属性 通常用A x P x 表示具有性质P的一些对象组成的集合A 例 V x x是元音字母 B x x a2 a是自然数 10 文氏图 用一个大的矩形表示全集 在矩形内画一些圆或其它的几
4、何图形 来表示集合 有时也用一些点来表示集合中的特定元素 例 集合V a e i o u 用文氏图表示如下 11 示例 用列举法表示下列集合 1 A a a 4且a为奇数 2 用描述法表示下列集合 1 A 0 2 4 200 2 B 2 4 8 1024 3 1 1 3 2x x Z且x 100 2n n N且n 10 12 集合的几点说明 集合的元素可以是集合 A a b c a b c 仅含一个元素的集合称为单元素集合 A 与集合A不同 A 表示仅以集合A为元素的集合 1 0 与 1 0 不同 1 0 表示仅以 1 0 为元素的集合 1 0 是 1 0 的元素 13 罗素悖论设集合S A
5、A是集合 且A A 若S S 则S是集合S的元素 则根据S的定义 有S S 与假设矛盾 若S S 则S是不以自身为元素的集合 则根据S的定义 有S S 与假设矛盾 罗素悖论 Russell sparadox 一个元素可否是它自身的元素 14 3 2集合之间的关系 外延性原理 两个集合是相等的 当且仅当它们有相同的成员 两个集合A和B相等 记作A B 两个集合不相等 则记作A B 例 设A是小于10的素数集合 即A 2 3 5 7 又设代数方程X4 17X3 101X2 247X 210 0的所有根组成的集合为B 则B正好是 2 3 5 7 因此这两个集合是相等的 又如 1 2 4 1 2 2
6、4 1 2 4 1 4 2 但 1 2 4 1 4 2 15 定义3 1 1设A B是任意两个集合 假如A的每一个元素是B的成员 则称A为B的子集 或A包含在B内 或B包含A 记作A B或B A A B x x A x B 16 定理3 1 1 集合A和集合B相等的充分必要条件是这两个集合互为子集 即A B且B A A B 证明 若A B 则A和B具有相同的元素 故 x x A x B 为真 且 x x B x A 也为真 即A B且B A 若A B且B A 假设A B 则A和B的元素不完全相同 设有某一个元素x A但x B 这与A B的条件矛盾 或设x B但x A 这与B A的条件矛盾 故A
7、 B的元素必须相同 即A B 17 定义3 1 2如果集合A的每一个元素都属于B 但集合B中至少有一个元素不属于A 则称A为B的真子集 记作A B A B x x A x B x x B x A A B A B A B 定义3 1 3不包含任何元素的集合是空集 记作 x p x p x p x 是任意谓词 注意 但 18 定理3 1 2对于任意一个集合A A 证明 假设 A为假 则至少有一个元素x 使x 且x A 因为空集 不包含任何元素 所有这是不可能的 定义3 1 4在一定范围内 如果所有集合均为某一集合的子集 则称该集合为全集 记作E 对于任一x A 因A E 故x E 即 x x E
8、恒真 故E x p x p x p x 为任何谓词 19 定义3 1 5给定集合A 由集合A的所有子集为元素组成的集合 称为集合A的幂集 记为P A 例如 A a b c 则P A a b c a b b c c a a b c 定理3 1 3如果有限集合A有n个元素 则其幂集P A 有2n个元素 20 3 3集合的运算 集合的运算 就是给定集合为对象 按照确定的规则得到另外一些集合 3 3 1集合的交运算定义3 2 1设任意两个集合A和B 由集合A和B的所有共同元素组成的集合S 称为A和B的交集 记作A B S A B x x A x B 21 由集合的交运算的定义可知 交运算具有以下性质
9、A B B AA B C A B CA A AA A E AA B AA B B 交运算的性质 22 3 3 2集合的并运算 定义3 2 2设任意两个集合A和B 所有属于A或属于B的元素组成的集合S 称为A和B的并集 记作A B S A B x x A X B 23 由集合并运算的定义可知 并运算具有以下性质 A B B AA B C A B CA A AA AA E EA A BB A B 并运算的性质 24 定理3 2 1设A B C为三个集合 则下列分配律成立 a A B C A B A C b A B C A B A C 定理3 2 2设A B为任意两个集合 则下列关系式成立 吸收律
10、a A A B Ab A A B A 25 定理3 2 3A B 当且仅当A B B或A B A 证明 对任意x A B 则x A或x B 又A B 则对任意x A必有x B 即x B 所以A B B 又B A B 故得到A B B 反之 若A B B 根据集合并运算的性质 有A A B 故A B 同理可证A B 当且仅当A B A 26 3 3 3集合的补运算 定义3 2 3设A B为任意两个集合 所有属于A而不属于B的一切元素组成的集合S称为B对于A的补集 或相对补 记作A B S A B x x A x B x x A x B A B也称集合A和B的差 定义如下图 27 定义3 2 4设
11、E为全集 对任一集合A关于E的补集E A 称为集合A的绝对补 记作 A A E A x x E x A A的定义如下图 28 由补的定义可知 补运算具有如下性质 A A E EA A EA A 补运算的性质 29 定理3 2 4设A B为任意两个集合 则下列关系式成立 a A B A Bb A B A B 证明 a A B x x A B x x A B x x A x B x x A x B A B 30 定理3 2 5设A B为任意两个集合 则下列关系式成立 a A B A Bb A B A A B 证明 b 设x A B 即x A且x B 又B A B则x B必有x B A 故x A B
12、 A 即A B A B A 又设x A A B 则x A且x A B 即x A且x A B x A且x A或x A且x B 但x A且x A是不可能的 故x A且x B 即x A B 于是得到A A B A B 因此 A B A A B 31 定理3 2 6设A B C为三个集合 则A B C A B A C 证明 A B C A B C A B C又 A B A C A B A C A B A C A B A A B C A B C A B C因此 A B C A B A C 32 定理3 2 7设A B为两个集合 若A B 则a B Ab B A A B 证明 a 若x A 由A B 则x
13、 B 因此x B必有x A 故x B必要x A 即 B A b B A A B A A B A A A B A E B A因为A B 就有B A B 因此 B A A B 33 3 3 4集合的对称差 定义3 2 5设A B为任意两个集合 A和B的对称差为集合S 其元素或属于A 或属于B 但不能既属于A又属于B 记作A B S A B A B B A x x A x B 对称差的定义如下图 34 由对称差的定义很易推得如下性质 A B B AA AA A A B A B A B A B C A B C 对称差的性质 35 定理3 3 1证明 证明 a 当A1和A2不相交 即A1 A2 则 A1
14、 A2 A1 A2 所以 A1 A2 A1 A2 A1 A2 2 A1 A2 但 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A1 A2 故 A1 A2 A1 A2 A1 A2 定理3 3 1 容斥定理 设A1 A2为有限集合 其元素个数分别为 A1 和 A2 则 A1 A2 A1 A2 A1 A2 36 3 3包含排斥原理 定理3 3 2设A1 A2 An为有限集合 取其元素个数分别为 A1 A2 An 则 A1 A2 An 37 示例 假设在10名青年中有5名是工人 7名是学生 其中兼具有工人与学生双重身份的青年有3名 问既不是工人又不是学生的青年有几名 解 设工人的集合为W 学生的集合为S 则根据题意有 W 5 S 7 W S 3 又因为 W S W S 10 故 W S 10 W S 10 W S W S 10 5 7 3 1 38 作业 P851 a b c 4 a b 6 a e P943 a b 45 a b P9914 a 5
