1、第二节n阶行列式的性质与计算 n阶行列式的性质n阶行列式的计算 一 n阶行列式的性质 性质1行列式与它的转置行列式相等 行列式称为行列式的转置行列式 记 性质2互换行列式的两行 列 行列式变号 说明行列式中行与列具有同等的地位 因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 上 下三角形行列式的值都等于主对角线上的元素的乘积 例如 推论如果行列式有两行 列 完全相同 则此行列式为零 证明 互换相同的两行 有 性质3n阶行列式等于任意一行 列 所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和 即 性质4n阶行列式中任意一行 列 的元素与另一行 列 的相应元素的代数余子式的乘积之和等于零 性质5行列式的某一行
2、 列 中所有的元素都乘以同一数 等于用数乘此行列式 推论行列式的某一行 列 中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 推论行列式中如果有两行 列 元素成比例 则此行列式为零 证明 性质6若行列式的某一列 行 的元素都是两数之和 则D等于下列两个行列式之和 例如 性质7把行列式的某一列 行 的各元素乘以同一数然后加到另一列 行 对应的元素上去 行列式不变 例如 例 二 n阶行列式的计算 计算行列式常用方法 利用运算把行列式化为上三角形行列式 从而算得行列式的值 解 例2计算行列式 一般地 我们有 例3计算 一般地 我们有 例4计算行列式 解观察行列式的元素可知 具有以对角线为对称轴的对称性 按第一列展开得 由此得到递推公式 一般地 我们有 例5计算 例6计算n阶范德蒙德 Vandermonde 行列式 证 用数学归纳法 n 1阶范德蒙德行列式 例 计算行列式 解 例计算阶行列式 解 将第都加到第一列得 例3 证明 证明 行列式中行与列具有同等的地位 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 计算行列式常用方法 1 利用定义 2 利用性质把行列式化为上三角形行列式 从而算得行列式的值 三 小结 行列式的6个性质 思考题 思考题解答 解
