1、3 1不等关系与不等式 现实世界和日常生活中 既有相等关系 又存在着大量的不等关系 如 1 今天的天气预报说 明天早晨最低温度为7 明天白天的最高温度为13 2 三角形ABC的两边之和大于第三边 3 a是一个非负实数 7 t 13 AB AC BC或 a 0 4 右图是限速40km h的路标 指示司机在前方路段行驶时 应使汽车的速度v不超过40km h 写成不等式是 40 5 某品牌酸奶的质量检查规定 酸奶中脂肪的含量f应不少于2 5 蛋白质的含量p应不少于2 3 用不等式可以表示为 v 40 我们用数学符号 连接两个数或代数式 以表示它们之间的不等关系 含有这些不等号的式子叫做不等式 数轴上
2、的任意两点中 右边点对应的实数比左边点对应的实数大 练习1 若需在长为4000mm圆钢上 截出长为698mm和518mm的两种毛坯 问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组 分析 设698mm与518mm分别x与y个 对于任意两个实数a和b 在a b a b a b三种关系中有且仅有一种关系成立 通常 如果p 则q 为正确命题 则简记为 读作 p推出q 如果都是正确的命题 记为读作 p等价于q或q等价于p 上述结论可以写成 例1 比较x2 x与x 2的大小 解 x2 x x 2 x2 2x 2 x 1 2 1 因为 x 1 2 0 所以 x2 x x 2 0 因此x2 x x 2 解 x3 x
3、2 x 1 x3 x2 x 1 x2 x 1 x 1 x 1 x2 1 x2 1 0 当x 1时 x3 x2 x 1 当x 1时 x3 x2 x 1 当x 1时 x3 x2 x 1 3 1 2 不等式的性质 性质1 如果a b 那么bb 性质1表明 把不等式的左边和右边交换位置 所得不等式与原不等式异向 我们把这种性质称为不等式的对称性 性质2 如果a b b c 那么a c 这个性质也可以表示为c b b a 则c a 这个性质是不等式的传递性 性质3 如果a b 则a c b c 性质3表明 不等式的两边都加上同一个实数 所得的不等式与原不等式同向 推论1 不等式中的任意一项都可以把它的符
4、号变成相反的符号后 从不等式的一边移到另一边 移项法则 推论2 如果a b c d 则a c b d 根据不等式的传递性得a c b d 几个同向不等式的两边分别相加 所得的不等式与原不等式同向 推论1 如果a b 0 c d 0 则ac bd 性质4 如果a b c 0 则ac bc 如果a b c 0 则ac bc 根据不等式的传递性得ac bd 几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘 所得的不等式与原不等式同向 推论2 如果a b 0 则an bn n N n 1 推论3 如果a b 0 则 n N n 1 例1 应用不等式的性质 思考下列不等式 1 已知a b ab 0 则 2 已
5、知a b cb d 3 已知a b 0 0 c d 则 例2 已知a b 不等式 1 a2 b2 2 3 成立的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 A 例3 设A 1 2x4 B 2x3 x2 x R 则A B的大小关系是 A B 例4 1 如果30 x 36 2 y 6 求x 2y及的取值范围 18 x 2y 32 2 若 3 a b 1 2 c 1 求 a b c2的取值范围 因为 4 a b 0 1 c2 4 所以 16 a b c2 0 例5 若 求的取值范围 解 因为f x ax2 c 所以 解之得 所以f 3 9a c 因为 所以 两式相加得 1 f 3 20 练习 已知 4 a b 1 1 4a b 5 求9a b的取值范围 解 设9a b m a b n 4a b m 4n a m n b 令m 4n 9 m n 1 解得 所以9a b a b 4a b 由 4 a b 1 得 由 1 4a b 5 得 以上两式相加得 1 9a b 20
