1、第四章 微分法 积分法 互逆运算 不定积分 二 基本积分表 三 不定积分的性质 一 原函数与不定积分的概念 第一节 不定积分的概念与性质 第四章 一 原函数与不定积分的概念 定义1 若在区间I上定义的两个函数F x 及f x 满足 在区间I上的一个原函数 则称F x 为f x 例如 的原函数 所以 都是 问题 1 在什么条件下 一个函数的原函数存在 2 若原函数存在 它如何表示 定理1 存在原函数 下章证明 定理2 另一个原函数 则 C为任意常数 证 是 故 由题意得 C为任意常数 任意一个原函数 因此 当C为任意常数时 可以表示 定义2 在区间I上的原函数全体称为 上的不定积分 其中 积分号
2、 被积函数 被积表达式 积分变量 若 则 C为任意常数 C称为积分常数 不可丢 例如 记作 例2 求 解 1 当x 0时 2 当x 0时 综上所述 例3 设曲线通过点 1 2 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍 求此曲线的方程 解 所求曲线过点 1 2 故有 因此所求曲线为 不定积分的几何意义 的原函数的图形称为 的图形 的所有积分曲线组成 的平行曲线族 的积分曲线 从不定积分定义可知 记作 二 基本积分表 P188 注 例7 求 解 原式 三 不定积分的性质 说明 性质2可推广到有限个函数的情形 例8 求 解 原式 例9 求 解 原式 例11 求 解 原式 例12 求 解 原式 例13 求 解 原式 例14 求 解 原式 例15 求 解 原式 内容小结 1 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表 见P188 2 直接积分法 利用恒等变形 及基本积分公式进行积分 常用恒等变形方法 分项积分 加项减项 利用三角公式 积分性质
