1、1 电子教案 武汉科技大学流体传动及控制研究所 机械工程控制基础课程 2 0拉普拉斯变换复习 THISPARTISNOTINCLUIDEINTHETEXTBOOK 2 拉普拉斯变换复习 REVIEWONLAPLACETRANSFORM 一 拉普拉斯变换的定义二 拉氏变换的性质三 拉氏逆变换四 卷积定理 3 1 1定义 设函数f t 当t 0时有定义 且积分在s的某一域内收敛 则由此积分所确定的函数可写为称式 20 1 为函数f t 的Laplace变换式 简称为拉氏变换式 记为 F s 称为f t 的拉式变换 1 2拉氏变换的存在定理 若函数f t 满足 1o在t 0的任意有限区间上分段连续
2、2o在t充分大后 满足不等式 f t Mect 其中M c都是实常数 一 拉普拉斯变换的定义 若F s 是f t 的拉式变换 则称f t 为F s 的拉式逆变换 记为 4 二 拉氏变换的性质 20 3 20 4 2 3 积分性质 20 6 5 2 6 初值定理与终值定理 6 2 7 常用函数的拉氏变换 2 7 1单位阶跃函数 2 7 2单位脉冲函数 7 2 7 4抛物线时间函数 2 7 3单位斜坡时间函数 2 7 5正弦时间函数 2 7 6余弦时间函数 8 2 8 控制理论常用的拉氏变换 r 正整数 a 常数 1 原函数f t 拉普拉斯变换F s 9 原函数f t 拉普拉斯变换F s 10 三
3、 拉氏逆变换 20 12 3 2定理若s1 s2 sn是函数F s 的所有奇点 适当选取 使这些奇点全在Re s 的范围内 且当s 时 F s 0 则有 若函数F s 是有理函数 其中A s B s 是不可约多项式 B s 的次数是n 且A s 的次数小于B s 的次数 在这种条件下 它满足定理对F s 的要求 因此有 11 3 3若B s 有n个单零点s1 s2 sn 即这些点均为F s 的极点且为单极点 有 3 4若s1是B s 的一个m阶零点 sm 1 sm 2 sn 是B s 的n 1个单零点 即s1是F s 的m阶单极点 si i m 1 m 2 n 是它的单极点 有 上两式均称为海维赛 Heaviside 展开式 12 四 卷积定理 4 1卷积的概念如果f1 t 与f2 t 都满足 当t 0时 称为卷积积分 显然卷积积分符合交换律 4 2卷积定理假定f1 t f2 t 满足拉氏变换存在定理中的条件 且 更详细的资料请参考有关的数学书
