1、8-1 第一型曲线积分,1. 第一型曲线积分的概念与性质,设有一条不均匀的物质曲线 以 为其二个端点,并设 上任一点 处的线密度为 ,把曲线 任意分割成 段，设第 段的弧长为 ，,在第 段上任取一点,第 段的质量,令,若极限 存在，则,曲线 的质量,定义,设函数 在分段光滑曲线段L上有定义,把曲线 任意分割成 段，设第 段的弧长为 ，,在第 段上任取一点,的任意分割法及中间点 的任意取法都存在，则称此极限为函数 沿曲线 的第一型（对弧长的）曲线积分，,记作,称为积分函数,积分曲线,弧微分,说明,1. 曲线光滑或分段光滑（光滑是指：曲线上每一点都有切线， 且切线方向随着曲线上点的连续变动而连续变
2、动； 分段光滑是指：曲线可由有限条光滑曲线弧段连接而成。,例如，圆周、抛物线都是光滑曲线； 四边形的周线是分段光滑曲线。,2. 函数 在曲线 上连续是指 在一个包含 的区域上连续.,4. 平面第一型曲线积分形式是:,5.第一型曲线积分与曲线的走向无关,3. 可以证明：当函数 在光滑曲线弧 上连续时， 则 在 上可积.,6. 如果L(或)是分段光滑的 则规定函数在L(或)上的 曲线积 分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和,8. 函数f(x y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分 记作 ,例如 设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2 则规定,7. 设c1、c2为常数 则,定理2,注意:,特殊情形（定理1）,推广（定理3）:,例,解,解,例,解,例,解,例,解,例,解,由对称性,四、几何与物理意义,
