1、利用函数性质判断方程解的存在 太和八中高一数学组 孙立全 师生活动1 填写下表 并探索一元二次方程与相应二次函数的关系 x2 2x 1 0 x2 x 6 0 x2 x 6 0 y x2 x 6 y x2 2x 1 y x2 x 6 师生活动2 填写下表 并探索利用函数的性质找出零点找到方程根的方法 二次函数f x x2 x 6 x y o 2 3 2 方程的根与函数零点之间的关系 师生活动4 若函数y f x 在闭区间 a b 上的图像是连续的曲线 并且在区间端点的函数值符号相反 即f a f b 0 则在区间 a b 内 函数y f x 至少有一个零点 即相应的方程f x 0在 a b 内至
2、少有一个实数解 3 闭区间上连续函数的零点存在定理 师生活动3 抽象概括 1 零点的概念 函数y f x 的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点 f x 的零点就是方程f x 0的解 应用闭区间上连续函数的零点存在定理时的注意事项 1 前提 闭区间 a b 连续 端点的函数值符号相反 2 结论 在区间 a b 内 函数y f x 至少有一个零点 师生活动5 典型例题例1 已知函数f x 3x x2 问 方程f x 0在区间 1 0 内有没有实数解 为什么 例2 判定方程 x 2 x 5 1有两个相异的实数解 且一个大于5 一个小于2 解考虑函数f x f x 2 x 5 1 有 又因为f
3、 x 的图像是开口向上的抛物线 如图4 2 所以方程 x 2 x 5 1有两个相异的实数解 且一个大于5 一个小于2 在 2 内存在一点a 有f a 0 在 5 内存在一点b 有f b 0 f 2 f 2 2 2 5 1 1 f 5 f 5 2 5 5 1 1 例3 求函数f x lnx 2x 6的零点个数 解 用计算器或计算机作出x f x 的对应值表与图像如下 由上表和图可知 f 2 0 则f 2 f 3 0 这说明函数f x 在区间 2 3 内有零点 由于函数f x 在定义域 0 内是增函数 所以它仅有一个零点 转几何画板 课堂练习 4 作出下列函数图像 并指出零点所在的大致区间 f x
4、 x3 3x 5 f x 2x ln x 2 3 f x ex 1 4x 4 f x 3 x 2 x 3 x 4 x 转几何画板 1 对函数的零点的理解对于函数y f x x D 我们把使f x 0的实数x叫做函数的零点 注意以下几点 1 函数的零点是一个实数 当函数的自变量取这个实数时 其函数值等于零 2 函数的零点也就是函数y f x 的图象与横轴的交点的横坐标 3 一般我们只讨论函数的实数零点 2 求一个函数零点的具体方法步骤以f x g x h x 为例 具体应有四个步骤 1 整理 化函数为方程g x h x 的形式 其中函数y g x 和y h x 的图象均容易画出 2 画图 在同一坐标系下画出两个函数y g x 和y h x 的叠合图 3 观察 观察由 2 得到的叠合图 两种图象的交点个数即为方程g x h x 的根的个数 也即函数f x g x h x 零点的个数 交点的横坐标即为方程g x h x 的根 也即函数f x g x h x 的零点 4 验证 因为作图和观察过程中可能有失误 所以 需要用根的存在性定理对 3 中的初步结论进行验证 课堂小结 家庭作业 1 教材P119A组1 2B组1
