1、第五节向量组的等价 主要内容 1 向量组等价的定义及性质 2 等价的向量组的性质 3 向量组秩的一个定理 在一个向量组中 其中任何一个向量可以由这向量组的最大线性无关组线性表出 这样在这个向量组中 除最大线性无关组外 其余向量就显得 多余 去掉向量组中 多余 的向量 就是找一个与此向量组等价的向量组来代替它 而这个向量组不再含有 多余 的向量 这就是引进等价向量组的意义 若向量组 1 2 m的每一个向量可由向量组 1 2 r线性表出 同时向量组 1 2 r的每一个向量可由向量组 1 2 m线性表出 亦即它们可以互相线性表出 则称向量组 1 2 m与向量组 1 2 r等价 记为 定义 1 2 m
2、 1 2 r 2 对称性若 1 2 m 1 2 r 则 3 传递性若 1 2 m 1 2 r 且 1 2 r 1 2 t 则 向量组之间的等价具有如下性质 1 自反性任何一个向量组都与自身等价 即 1 2 m 1 2 m 1 2 r 1 2 m 1 2 m 1 2 t 由向量组等价的定义 结合上节的定理4 2及推论可得等价的向量组有以下三个性质 性质1任何向量组都与它的最大线性无关组等价 性质2任何两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相同 设 1 2 m与 1 2 t等价 故它们互能线性表出 现设 1 2 m可由 1 2 t线性表出 又因 1 2 m线性无关 所以由上节定理4 2的推论1得m
3、 t 反之同理可得t m 于是m t 证 性质3任何两个等价的向量组的秩相等 设 1 2 m 1 2 t 又设 证明 为 1 2 m的最大线性无关组 为 1 2 t的最大线性无关组 于是由性质1得 1 2 m 1 2 t 利用向量组等价的传递性得 由性质2得r1 r2 若向量组 1 2 m可由向量组 1 2 t线性表出 则R 1 2 m R 1 2 t 定理5 1 证设 1 2 m 1 2 t 1 2 m及 1 2 t的最大线性无关组 于是由等价的向量组的性质1得 分别为向量组 所以 可由 1 2 m线性表出 可由 1 2 t线性表出 由线性 表出的传递性 可由 线性表出 而 线性无关 所以
4、例1如果基本单位向量组 1 2 n可由n维向量组 1 2 n线性表出 试证 1 2 n线性无关 因为 1 2 n可由 1 2 n线性表出 所以由已知条件得 证1 1 2 n 1 2 n 因为等价得向量组有相同的秩 所以 R 1 2 n R 1 2 n 而 1 2 n线性无关 因此R 1 2 n n 于是R 1 2 n n 即 1 2 n线性无关 由已知 1 2 n可由 1 2 n线性表出 由定理5 1得 证2 R 1 2 n R 1 2 n 而R 1 2 n n 这样 n R 1 2 n n 因此R 1 2 n n 这样 1 2 n线性无关 证3 设 1 2 n线性相关 且 为 1 2 n的最
5、大线性无关组 r n 由 1 2 n可由 1 2 n线性表出 因而 1 2 n可由 线性表出 而n r 由上节定理4 2得 1 2 n线性相关 这与题设矛盾 因此 1 2 n线性无关 例2设A是m k矩阵 B是k n矩阵 则 只要证明R AB R A 与R AB R B 同时成立即可 以下先证R AB R A 设 R AB min R A R B 证明 用A1 A2 Ak表示矩阵A的列向量组 C1 C2 Cn表示AB的列向量组 即 由分块矩阵的乘法可知AB的j列 这表明乘积矩阵AB的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表出 而表出系数是B的第j列向量的各个分量 因此 有定理5 1知 即 上述证明过
6、程揭示了矩阵乘积的结构的特点 R C1 C2 Cn R A1 A2 Ak 利用这一结果得 即 因此 本例是关于矩阵乘积的秩与因子矩阵的秩之间的一个重要结论 可以作为命题直接使用 R AB R AB R B A R B R B R AB R B R AB min R A R B 例如非零矩阵的乘积可以是零矩阵 例3设A是n m矩阵 B是m n矩阵 其中n m E是n阶单位矩阵 若AB E 证明B的列向量组线性无关 证1 设B的列向量为 1 2 n 对x1 x2 xn 若 x1 1 x2 2 xn n 0 即 亦即BX 0 其中X x1 x2 xn 则有ABX EX X 0 即X是零向量 因此 1 2 n线性无关 证2 R AB R E R B n R B n
