1、离散型随机变量的期望随机变量及应用是高中数学的重要内容，也是近年高考命题的一个新的亮点与热点在高考中，随机变量及应用与函数、方程、不等式、数列、解析几何、立体几何等知识交汇融合、相互渗透，使问题的情景新颖而别致下面以 2005 年高考题为例归纳随机变量与其他知识的交汇，与同学们共赏析一、随机变量与函数的交汇例 1 （2005 年湖南卷）某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点，一位客人游览这 3 个景点的概率分别是 04，05，06，且客人是否游览哪个景点互不影响设?孜表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值（1）求 的分布列及数学期望；（2）记“函数 2()31fxx在区间
2、2乙 上单调递增”为事件，求事件的概率解析：（1）分别记“客人游览甲景点” ， “客人游览乙景点” ， “客人游览丙景点”为事件 23A乙相互独立，且 1()0.4PA， 2()0.5， 3()0.6PA客人游览的景点数的可能取值为，1，2，3相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为 3，2，1，所以 的可能取值为 1，3123123()()()PAPA1 (20.45.604，()2.7P 所以 的分布列为 1 3P0 760 2410.763.2418E（2）因为229()fx，所以函数 2()31fx在区间 32乙 上单调递增，要使 ()f在 乙 上单调递增，当且仅当 ，即 4 从而 4
3、(1)0.763PAP 点评：本题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的定义和求法及随机变量与函数的联系，体现了“在知识的交汇处命题”的原则二、随机变量与方程的交汇例 2 （2005 年浙江卷）袋子 和 中装有若干个均匀的红球和白球，从 中摸出一个红球的概率是，从 中摸出一个红球的概率为 p（）从 中有放回地摸球，每次摸出一个，有 3 次摸到红球即停止；求恰好摸 5 次停止的概率；记 5 次之内（含 5 次）摸到红球的次数为 ，求随机变量 的分布列及数学期望EX（2）若 ， 两个袋子中的球数之比为 1:2，将 ， 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求 p 的值解析：（1）恰好摸
4、 5 次停止的概率为24183C随机变量的取值为，由 n 次独立重复试验概率公式()(1)knknnPCp，得053132(0) 4PXC；1458()32X；235180(2)2；3807()(0)(1)()14PPX的分布列为0 1 2 332480417832801742438EX（2）设袋子 A中有 m个球，则袋子 B中有 2m个球由1235mp，得 130点评：本题主要考查相互独立事件同时发生的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查同学们的逻辑思维能力第（2）小题是通过建立方程求概率 p 的值三、随机变量与不等式的交汇例 3 （2005 年辽宁卷）某工厂生产甲、乙两种产品，
5、每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有 ， 两个等级对每种产品，两道工序的加工结果都为 级时，产品为一等品，其余均为二等品（）已 知甲、乙两种产品每一道工序的加 工结果为级的概率如表一所示， 分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率 P乙；（2）已知一件产品的利润如表二所示，用 乙分别表示一件甲、乙产品的利润，在（）的条件下，求 乙的分布列及 E乙（3）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示该工厂有工人 40 名，可用资金 60 万元设 xy乙分别表示生产甲、乙产品的数量，在（2）的条件下， xy乙为何值时， zxE大？最大值是多少？（
6、解答时需给出图示） 解析：（） 0.85.6P乙 ， 0.758.6P乙 （2）随机变量 的分布列是2515P060450.682.3.2E， .561.042.E（3）由题设知104xy乙乙 目标函数为 .1zxEyxy作出可行域（如图）：解方程组 5106824xy乙得 x乙即 (4)M乙5 2 5P0 680 32由目标函数 4.2.1zxy变形得 2.1zx当直线 2.1zyx过点 M时，纵截距 2.1z最大，此时最大，最大值为 4.45点评：本题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、简单的线性规划（二元一次不等式组）模型的建立与求解等基础知识考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力四、随机变量与解析几何的交汇例 4 （2005 年全国卷）设 l 为平面上过点 (01)乙的直线，l 的斜率等可能地取523032乙，用 X表示坐标原点到 l的距离，则随机变量 X的数学期望 EX 解析：由题设条件，利用点到直线的距离公式可求得 13xd，234567121133xxx乙，且 (27)iP乙47EX 点评：本题将随机变量的期望与直线的斜率、点到直线的距离融合在一起，构思精巧、新颖别致，充分考查了在新背景下分析和解决问题的能力
