1、立体几何中的五心问题一，相关概念。三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍三角形的“五心” 指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心) 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等 都等于三角形的外接圆半径锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心) 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径内切圆半径 r 的计算：设三角形面积为 S
2、，并记 p= (a+b+c)，则 r= 12 Sp特别的，在直角三角形中,有 r= (a+bc) 123、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1 24、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心 斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点所以把这样的四个点称为一个“垂心组”5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心) 每个三角形都有三个旁切圆二，例题精讲。例 1 P 是ABC 所在平面外一点
3、，O 是点 P 在平面 上的射影（1）若 PA = PB = PC，则 O 是ABC 的_心（2）若点 P 到ABC 的三边的距离相等，则 O 是ABC_心（3）若 PA 、PB 、PC 两两垂直，则 O 是ABC_心（4）若ABC 是直角三角形，且 PA = PB = PC 则 O 在ABC 的_上 （5）若 PA、PB、PC 与平面 ABC 所成的角相等，则 O 是ABC 的_心；AB COAB CDEFGAB CDEFIaI KHEFDAB CM三，技能训练。1 RtABC 中，C，BC，若平面 ABC 外一点 P 与平面 A，B，C 三点等距离，且 P 到平面 ABC 的距离为，M 为 AC 的中点 （）求证：PMAC；（）求 P 到直线 AC 的距离；（）求 PM 与平面 ABC 所成角的正切值2斜三棱柱 ABCA1B1C1的底面ABC 中，AB=AC=10，BC=12，A 1到 A、B、C 三点的距离都相等，且 AA1=13，求斜三棱柱的侧面积。 C1A1 B1ACB3如图：B 为 ACD 所在平面外一点，M、N、G 分别为 ABC、 ABD、 BCD 的重心，（1）求证：平面 MNG/平面 ACD；（2）求 ADCMNGS:ABDCP HFM GN
