1、 第七章 Ch7 6 一 二元函数的极值 无条件 二 最值应用问题 三 条件极值 多元函数的极值及最值 一 二元函数的极值 定义 若函数 则称函数在该点取得极大值 极小值 例如 在点 0 0 有极小值 在点 0 0 有极大值 在点 0 0 无极值 极大值和极小值 统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 的某邻域内有 二元函数极值也是局部性的概念 即定理1反之不真 在 0 0 处两个偏导数均为0 2 偏导数不存在的点也可能取得极值 说明 1 使一阶偏导数都为0的点称为驻点或稳定点 但驻点不一定是极值点 例如 在 0 0 取得极大值 定理1 极值存在的必要条件 且在该点取得极值 则有 函数 极值
2、点必在驻点和一阶偏导数不存在的点中取得 定理1 一阶偏导数存在的极值点必为驻点 但 0 0 无极值 如何判断一个驻点是否为极值点 时 具有极值 定理2 极值存在充分条件 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数 且 令 则 1 当 A 0 或C 0 时取极大值 A 0 或C 0 时取极小值 2 当 3 当 证明见 P238 时 没有极值 时 不能确定 需另行讨论 若函数 二元函数求极值的步骤 例1 求函数 的极值 解 例2 求函数 得驻点 1 0 1 2 3 0 3 2 在点 1 0 处 为极小值 1 解 的极值 2 求二阶偏导数 即A B C 解 在点 3 0 处 不是极值 在点 3 2 处 为极
3、大值 在点 1 2 处 不是极值 二 最大值 最小值 函数f在有界闭域上连续 函数f在有界闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点及偏导数不存在的点 边界上的最值点 依据 有界闭域上的最值问题 在求解实际问题的最值时 如果从实际意义知道所求函数最值存在 且只有一个驻点P时 则该驻点就是函数所求的最值点 为极小值 为最小值 大 大 例4 求最大利润 某企业生产两种商品的产量分别为x单位和y单位 利润函数为 最大利润为1650单位 解 三 条件极值 极值问题 无条件极值 条件极值 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外 还有其它条件限制 方法1无条件化 基本思想是把条件极值问题化为无条件极值问题 方法2拉格朗日乘数法 模型 推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形 设 解方程组 例如 求函数 下的极值 在条件 可得到的可能的极值点 解 一 二元函数求极值的步骤 二 最大值 最小值 实际问题的应用 三 条件极值拉格朗日乘数法 作业P2441 1 7 2 1 3 2 6 得驻点 2 0 0 0 舍去 在点 2 0 处f 2 0 4 解
