1、重叠问题知识点拨一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的 计算求两个集合并集的元素的个数，不能 简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成： (其中符号“ ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或” 的意思；符号ABAB“ ”读作“交”，相当于中文“ 且 ”的意思)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理图示如下: 表 A示小圆部分， 表示大圆部分， 表示大圆与小圆的公共部分，记为： ，即阴影面积图示如下: 表CAB示小圆部分， 表示大圆部分， 表示大圆与小圆的公共部分，记为： ，即阴影面积包含与排除
2、原理告诉我们，要 计算两个集合 的并集 的元素的个数，可分以下两步 进行：AB、第一步：分别计算集合 的元素个数，然后加起来，即先求 (意思是把 的一切元素都“包含”进AB、 ABAB、来，加在一起) ；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去 (意思是“排除”了重复计算的元素个数) C二、三量重叠问题类、 类与 类元素个数的 总和 类元素的个数 类 元素个数 类元素个数 既是 类又是ABCABCA类的元素个数 既是 类又是 类的元素个数 既是 类又是 类的元素个数 同时是 类、 类、 B类的元素个数用符号表示 为： 图示如下：CBCAA在解答有关包含排除问题时，我 们常常利用圆圈图(韦
3、恩图)来帮助分析思考1先包含 重叠部分 计算了 次，多加了 次；212再排除 把多加了 次的重叠部分 减去1图中小圆表示 的元素的个数， 中圆表示 的元素的个数，大圆表示 的元素的个数1先包含： ABC重叠部分 、 、 重叠了 次，多加了 次A212再排除： BC重叠部分 重叠了 次，但是在 进行 AC3B计算时都被减掉了B3再包含： BAC例题精讲模块一：两量重叠问题例题 11【巩固】 把长 厘米和 厘米的两根铁条焊接成一根铁条已知焊接部分长 厘米，焊接后这根铁条有385 4多长？【巩固】 把长 厘米和 厘米的两根铁条焊接成一根铁条已知焊接部分长 厘米，焊接后这根铁条有237 3多长？例题
4、22【巩固】 芳草地小学四年级有 人学钢琴， 人学画画， 人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学584337画画的分别有多少人？两张长 厘米，宽 厘米的长方形纸摆放成如图所示形状把它放在桌面上，覆盖42面积有多少平方厘米？实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有 人，参加数学兴趣小组的有 人，2829有 人两个小组都参加这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？1例题 33【巩固】 四年级科技活动组共有 人在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老63师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有 人，装配好一架飞机模型的同学有42人每个同学都至少完成了一项活动问：同时完成这两项活动的同
5、学有多少人？34【巩固】 实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有 10 人，能表演跳舞的有 18 人，两种都能表演的有 7 人这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有 人，参加军棋比赛的有 人，有 人两项比32281赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？例题 44一个班 人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一48种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了已知做完语文作业的有 人；做完数学作业的有 人这些人中语文、数学作业都完成的有3742多少人？（第二届小学迎春杯数学竞赛)有 10位旅客，其中有 1
6、0人既不懂英语又不懂俄语，有 75人懂英语， 83人懂俄语问既懂英语又懂俄语的有多少人？【巩固】 名学生参加数学和语文考试，其中语文得分 分以上的 人，数学得分 分以上的 人，47 95149521两门都不在 分以上的有 人问：两门都在 分以上的有多少人？952【巩固】 某班共有 人，参加美术小组的有 人，参加音乐小组的有 人，有 人两个小组都参加4612235了这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？【巩固】 四年级一班有 人，其中 人参加了数学竞赛， 人参加了作文比赛， 人两项比赛都参加4526212了一班有多少人两项比赛都没有参加？【巩固】 某次英语考试由两部分组成，结果全班有
7、 人得满分，第一部分有 人做对，第二部分有1225人有错，问两部分都有错的有多少人？19【巩固】 对全班同学调查发现，会游泳的有 人，会打篮球的有 人两项都会的有 人，两项都不202510会的有 人这个班一共有多少人？9例题 55 在 人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有 人，既采了樱桃又采了杏的有 人，46 187既没采樱桃又没采杏的有 人，问：只采了杏的有多少人？6例题 66【巩固】 育才小学画展上展出了许多幅画，其中有 16 幅画不是六年级的，有 15 幅画不是五年级的，五、六年级共展出 25 幅画，其他年级的画共有多少幅？例题 88【巩固】 在从 1 至 1000 的自然数中，既不能被 5 除尽，又不能被 7 除尽的数有多少个?【巩固】 求在 1 至 100 的自然数中能被 3 或 7 整除的数的个数。练习 11 一个长方形长 厘米，宽 厘米，另一个长方形长 厘米，宽 厘米，它们中间重128106叠的部分是一个边长 厘米的正方形，求这个组合图形的面积4甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中 块玻璃不是甲组擦的， 块6852玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了 块玻璃那么，甲、乙、丙三个小0组各擦了多少块玻璃？在 的全部自然数中，不是 的倍数也不是 的倍数的数有多少个？1035
