1、 傅立叶变换 对周期信号 如果令T趋于无穷大 则周期信号将经过无穷大的间隔才重复出现 周期信号因此变为非周期信号 即当时 有 一 从傅立叶级数到傅立叶变换 当T增加时 基波频率变小 离散谱线变密 频谱幅度变小 但频谱的形状保持不变 在极限情况下 周期T为无穷大 其谱线间隔与幅度将会趋于无穷小 这样 原来由许多谱线组成的周期信号的离散频谱就会联成一片 形成非周期信号的连续频谱 趋于有限值 记为 即 时 或者是 傅立叶变换 可以看出 实际上表示了频率为分量的复振幅Fn与频率增量 f的比值 因此可以理解为是一种密度频谱 即表达了信号在 处的频谱密度分布情况 这就是信号的傅立叶变换的物理含义 对信号进
2、行傅立叶变换和对信号进行频谱分析具有同样含义 所谓求信号的频谱和求信号的傅立叶变换是一回事 傅立叶变换 一般为复函数 可以写为 曲线称为非周期信号的幅度频谱 曲线称为非周期信号的相位频谱 幅度谱和相位谱都是频率 的连续函数 在形状上与相应的周期信号频谱包络线相同 非周期信号的频谱有两个特点 密度谱 连续谱 傅立叶变换 由信号的频谱重建非周期信号的表示式因为 T 时 有 这就是傅立叶反变换的公式 傅立叶变换 一般用符号表示取傅立叶变换 这样有 上两式称为傅立叶变换对 其中第一式称为傅立叶正变换 简称傅氏变换 而第二式称为傅立叶反变换 简称傅氏反变换 并采用下列记号 傅立叶正变换 傅立叶反变换 傅
3、立叶变换 的三角函数形式 傅立叶变换 从上式可以看出 非周期信号和周期信号一样 也可以分解成许多不同频率的正 余弦分量 不同的是 由于非周期信号的于是它包含了从零到无限高的所有频率分量 同时 三角函数振幅 故用频谱不能直接画出 必须用它的密度函数作出 最后必须指出 从理论上讲 FT也应满足类似狄氏条件 即绝对可积 但是是充分条件 而非必要条件 讨论 傅立叶变换 一般来说 非周期信号的能量是有限的 而平均功率等于零 所以它只有能量频谱而无功率频谱 对非周期信号 有 二 非周期信号的能量谱 即 定义 上式称为非周期信号的能量公式或帕什瓦尔公式 该式说明在时域中求得的信号能量和在频域中求得的信号能量
4、相等 函数为非周期信号的能量密度谱 简称为能量谱 1 矩形脉冲信号 三 典型信号的傅立叶变换 或 幅度谱 相位谱 由矩形脉冲信号波形和频谱图可知矩形脉冲的频谱是抽样函数 其大部分能量集中在低频段 一般认为抽样脉冲形状的频谱的有效带宽是原点到第一个零点的宽度 即矩形脉冲信号的有效带宽是 即矩形脉冲的脉宽和有效带宽是成反比的 三 典型信号的傅立叶变换 2 单边指数信号 傅立叶变换为 幅度谱 相位谱 三 典型信号的傅立叶变换 一般认为幅度谱下降到0 1倍最大值时的宽度为信号的有效带宽 所以单边指数信号的有效带宽是 同样地 信号的脉冲宽度和有效带宽也是成反比 三 典型信号的傅立叶变换 3 双边指数信号
5、 傅立变换为 幅度谱 相位谱 三 典型信号的傅立叶变换 沿用单边指数信号频谱带宽的定义 即幅度谱下降到0 1倍最大值时的宽度为信号的有效带宽 则双边指数信号的有效带宽是同样地 信号的脉冲宽度和有效带宽也是成反比的 三 典型信号的傅立叶变换 4 符号函数 符号函数不满足绝对可积条件 但它却存在傅立叶变换 可以借助于符号函数与双边指数函数相乘所得函数的傅立叶变换 然后取极限 从而得出符号函数的频谱 即 因为所以 三 典型信号的傅立叶变换 符号函数很类似于直流信号 但符号函数的平均值为零 所以符号函数不含直流成分 符号函数只是在原点处有跳变 所以符号函数含有各种频率分量 且大部分频谱集中在低频附近
6、符号函数不是能量函数 所以在附近 符号函数的频谱幅度趋于无穷大 三 典型信号的傅立叶变换 5 单位冲激信号 根据定义 单位冲激信号的频谱为 上述结果也可由矩形脉冲取极限得到 若 0 且A 1 这时矩形脉冲就变成了 其对应频谱必为常数1 单位冲激函数的频谱在整个频率范围内均为1 物理意义 在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量 因此这种频谱常称为 均匀谱 或 白色谱 三 典型信号的傅立叶变换 直流信号不满足绝对可积条件 可采用取极限的方法导出其傅立叶变换 当矩形脉冲宽度 时 矩形脉冲便趋于直流信号 因此直流信号的傅立叶变换为矩形脉冲信号在 时的傅立叶变换 而矩形脉冲的傅立叶变换
7、为 根据极限关系 6 常数函数 直流信号 即 所以有 三 典型信号的傅立叶变换 从频谱的角度理解傅立叶变换对 即直流信号的频谱是原点的冲激函数是很直观的 因为直流信号只包含的频率成分 而不含其它频率成分 同时 因为傅立叶变换得到的频谱是一种密度谱 所以直流信号在处的谱密度是无穷大 三 典型信号的傅立叶变换 7 单位阶跃信号 因为 所以容易求得单位阶跃信号的傅立叶变换为 三 典型信号的傅立叶变换 单位阶跃函数的频谱在点存在一个冲激函数 因单位阶跃函数含有直流分量 此外 由于单位阶跃函数也不是纯直流信号 它在点有跳变 因此在频谱中还出现其它频率分量 三 典型信号的傅立叶变换 8 三角形脉冲信号 傅立叶变换为 令 得 三 典型信号的傅立叶变换 所以 三 典型信号的傅立叶变换
