1、1,第 17 章 振动,一、简谐运动的描述 *二、简谐运动的动力学 *三、简谐运动的能量 *四、单摆的微小振动 *五、阻尼振动 *六、受迫振动 共振 七、简谐振动的叠加,2,振动是物质的普遍运动形式,广义振动：任一物理量在某一数值附近作周期性变化,机械振动：物体在某一位置附近作周期性往返运动,电场、磁场随时间作周期性变化-又称电磁振荡,简谐振动（简谐运动）：最简单、最基本的振动,3,即简谐振动是振动的基本模型 或说 振动的理论建立在简谐振动的基础上,本章以简谐振动为例说明振动的一般性质,简谐运动（简谐运动） ：最简单、最基本的振动.,简谐运动,4,1、 简谐运动的定义,物体运动时，如果离开平衡
2、位置的位移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数的规律随时间变化，这种运动就叫简谐运动。,一、简谐运动的描述,特点,(1)等幅振动,(2)周期振动 x(t)=x(t+T ),或,5,初始条件：,2、描述简谐振动的特征量,振幅A：在振动中，物体离开平衡位置的最大位移绝对值,振动系统的能量决定于振幅。,角频率：,得,单位时间内物体的完全振动次数,频率,角频率,时间内物体所作的完全振动次数,周期T：物体作一次完全振动的时间。,7,说明,1) 周期和频率都是反映振动快慢的物理量。,2) 一个系统自由振动的周期和频率完全由这个系统本身的性质决定，该频率称为系统的固有频率。,8,相位( )，初相位( ),确定
3、简谐运动物体在任一时刻 运动状态的物理量,例如：某时刻的相位,则物体的振动状态,即该时刻，物体处于平衡位置，且向 方向运动的状态,9,如 时，初相,物体的振动状态,由,即 时刻物体处于位移为 ，且向x负方向运动的状态。,反之，若某时刻 ，物体处于 ，且向x正方向运动,10,又由,则必然,即位相与运动状态一一对应,简谐振动的运动方程：,简谐振动的速度方程：,简谐振动加速度方程：,3、简谐运动的速度、加速度方程,12,简谐运动的速度和加速度,简谐振动的位移、速度及加速度曲线,v,a,v,a,x,简谐振动的位移、速度及加速度随时间周期性变化。 X-t曲线叫振动曲线。,14,（1） 解析法,由 x=A
4、cos( t+ ),已知表达式 A、T、 已知A、T、 表达式,（2）曲线法,o,A,-A,t,x, = /2,T,已知曲线 A、T、 已知 A、T、 曲线,由上知， 简谐振动的描述方法,另， （3）旋转矢量法,简谐运动和匀速圆周运动的联系,4、简谐运动和匀速圆周运动,作匀速圆周运动的质点在过圆心的某一方向上投影的运动为简谐振动。,结论：,45,简谐运动的旋转矢量法,t=0,设沿ox轴有一简谐运动,46,47,48,用旋转矢量法确定简谐运动的初位相,由初始条件 、 确定旋转矢量所在位置,例1一沿竖直方向作简谐振动的振子,过平衡位置向正方向运动；,过 处向x 轴负方向运动；,以下两种情况的初位相
5、,（设竖直向下为正方向）,求：当t=0 时,过 处向x 轴负方向运动,52,小结：简谐运动的描述方法,解析描述,53,曲线描述,旋转矢量描述：坐标，旋转矢量，角速度，位相,例题2、已知物体作简谐运动的图线， 试根据图线写出其振动方程,解：方法一（解析法）,设振动方程为,由图知,55,则得,由图知,56,方法二：旋转矢量法,取,由此得振动方程,初相的确定：,57,时，质点位于 点向 轴正方向运动，对应的旋转矢量位于 位置，可见矢量旋转 ，则角频率为,圆频率的确定：,由此得振动方程,58,求：（1）质点运动方程。,（2）质点从 运动到 处最短时间。,例题3、已知质点作简谐运动，振幅 ，角频率 ，开
6、始时，质点位于 处，向 轴正方向运动。,解：（1）用旋转矢量法确定初相（如图），则,59,（2）质点从 运动到 最短的时间，对应的旋转矢量是从 运动到 ，则所需时间,60,例：一质点作简谐振动，其振动方程为 ，用旋转矢 量法求出质点由初始状态（t=0的状态）运动到 的状态所需最短的时间。,61,62,63,64,或,65,三、简谐运动的动力学方程,组成物质的分子、原子间的相互作用在很多情况下都可以用一个弹簧振子的振动来描述。,不考虑弹簧的质量和任何摩擦，弹簧振子的振动是一种典型的简谐运动。,1. 弹簧振子模型,66,胡克定律给出弹簧的恢复力,2. 简谐振动的动力学方程,由牛顿第二定律,三、简谐
7、运动的动力学方程,67,令,习惯上用余弦形式。,三、简谐运动的动力学方程,是简谐振动的动力学方程，其解为,x = Acos(t + ) 或 x = Asin(t + ) 式中 A , 为待定积分常量，,68,动力学角度：若质点受的力与位移成正比，方向相反，则该质点的振动称为简谐振动。,3、简谐振动的判据,运动学角度：物体离开平衡位置的位移按余弦函数的规律随时间变化，这种运动就叫简谐运动。,三、简谐运动的动力学方程,69,四、简谐振动的能量,弹簧振子做谐振动时，振动系统不受外力和内部非保守力的作用，系统机械能守恒。,势能 Ep,动能 Ek,70,四、简谐振动的能量,总机械能,即振动总机械能是恒量
8、，并与振幅平方成正比。,71,弹簧振子动能、势能的平均值,四、简谐振动的能量,即动能平均值与势能平均值相等，等于总能量的一半。,72,四、简谐振动的能量,T,73,四、简谐振动的能量,74,五、单摆的微小振动,单摆,系统所受力矩,角加速度,75,五、单摆的微小振动,令,有, 较小时（ ）,则,单摆作简谐振动。,76,五、单摆的微小振动,对单摆的另一种处理方法,摆球所受合力,摆球切向角加速度,（ 时）,称为准弹性力,有,77,简谐振动(动力学部分),1. 受力特点: 线性恢复力 (F= -kx),2. 动力学方程,3. 固有(圆)频率,弹簧振子:,单摆 :,固有频率决定于系统内在性质,4. 由初
9、始条件求振幅和相位,78,六、阻尼振动,在弹性力或准弹性力作用下的简谐振动，由于没有任何阻力的作用，振动系统的能量和振幅不随时间变化，这样的振动称为无阻尼自由振动。,由于阻力的作用，振动系统的能量随时间逐渐减小，因而其振幅也逐渐减小，这种振动称为阻尼振动，又称为减幅振动。,79,实验表明，当物体运动速度不很大时，阻力与速度成正比且方向相反,六、阻尼振动,式中 为阻尼系数， 为系统的固有角频率。,80,A0 , 0 为积分常数，,1. 欠阻尼振动,六、阻尼振动,是一种振幅随时间指数式衰减的振动，称为欠阻尼振动。,当 0 时，微分方程的解为,81,阻尼振动不是简谐振动，也不是严格的周期振动。,六、
10、阻尼振动,即比振动系统的固有周期要长。,但仍可以定义周期,82,时间常量 欠阻尼振动振幅随时间指数式衰减,六、阻尼振动,振动能量,定义,作为阻尼振动的特征时间称为时间常量 或鸣响时间。,83,品质因数Q 定义为鸣响时间内可能振动的次数的 2 倍。,六、阻尼振动,品质因数即 Q 值越高，振动的次数越多，系统能量损失越慢，表示振动系统越 “好”。在阻尼不严重的情况下，可用振动系统的固有周期和固有角频率计算。,例：钢琴 Q 103，激光器光学谐振腔 Q 107,84,2. 当 0 时的阻尼运动称为过阻尼运动。 x 不振动，需要很长的时间才能回到平衡位置。,六、阻尼振动,3. 当 0 = 时的阻尼运动
11、称为临界阻尼运动。此时物体刚刚能做非周期性运动，最后回到平衡位置。,85,和过阻尼相比，临界阻尼这种非周期性运动回到平衡位置的时间最短。在实验中，例如天平、高灵敏电流计等仪器，控制在临界阻尼状态，指针或光标可以迅速、无振荡的达到平衡位置。,六、阻尼振动,86,七、受迫振动 共振,谐振子在周期性外力驱动下的振动称为受迫振动。外力提供的能量刚好弥补阻尼所消耗的能量时，系统达到稳定振动状态。,振动方程,方程通解,设驱动力为 Hcost,87,受迫振动的振动频率与外力作用频率相同而与振动系统的固有频率无关。,暂态，经一定时间后衰减为零。,七、受迫振动 共振,稳定的振动，称为受迫振动。,88,七、受迫振
12、动 共振,受迫振动的振幅与位相,令,受迫振动的振幅 A 是驱动力频率的函数,89,七、受迫振动 共振,受迫振动的振幅,当驱动力频率,90,七、受迫振动 共振,共振时,与外力同相，驱动力对系统总作正功，形成共振。,振动速度,91,合矢量 A 将与矢量 A1 与 A2 一起以角速度转动。,1. 同一直线上两个同频率简谐振动的合成,八、简谐振动的叠加,92,即在同一直线上两个同频简谐振动的合振动，仍是一个同频率的简谐振动。,八、简谐振动的叠加,93,两个特例,八、简谐振动的叠加, k = 0，1 ，2，,两分振动同相,合振幅最大。,94,问题：A1 = A2 时，合振动情况如何？,八、简谐振动的叠加, k = 0，1 ，2，,两分振动反相,合振幅最小。,95,八、简谐振动的叠加,2. 同一直线上 n 个同频率简谐振动的合成,96,八、简谐振动的叠加,在轴上的个同频率简谐振动合成的相量图,97,八、简谐振动的叠加,3. 同一直线上不同频率简谐振动的合成,时，随时间缓慢变化，其绝对值可以看作合振动的振幅，则合振动就是“拍”。,98,八、简谐振动的叠加,拍频,余弦函数的绝对值在一个周期内有两个最大值，故,99,八、简谐振动的叠加,100,
